Convergenza dell'integrale

[Pylord]

Ciao,

Stabilire usando un opportuno criterio di convergenza se il seguente integrale generalizzato converge ed in caso converga calcolarlo con la definizione.

$ int_(0)^(1) x/sqrt(1-x^2) dx $

Sono abbastanza confuso su come calcolare questo integrale utilizzando un criterio.

Ho provato a confrontarlo con l'integrale $ int_(0)^(1) (1/(b-x)^a) dx $.
Successivamente, ho notato che con $ x->1 $ l'integrale è simile a $ int_(0)^(1) (1/sqrt(1-x^2)) dx = arcsinx+c $.

Dato che $ arcsinx $ tra 0 e 1 è uguale a $ arcsin1-arcsin0=pi/2 -0=pi/2 $ quindi converge,
per il criterio del confronto asintotico anche l'integrale di partenza converge. È corretto?

[moccidentale]

.

[gugo82]

Beh, dai, c'è poco da dipanare... L'integrale è un integrale "della tabella": infatti, moltiplicando e dividendo per $-2$ si trova:

$int x/sqrt(1 - x^2)\ "d"x = int -1/2 * (-2x)/sqrt(1 - x^2)\ "d" x$

e da ciò segue che esso è nella forma $int f^{\prime}(x) * [f (x)]^alpha\ "d" x$.
Per le tabelle, vedi qui, pag. 26.

[Pylord]

Grazie mille per avermi risposto,
il procedimento per sostituzione con la variabile 't' lo avevo già fatto, però la consegna dice di "Stabilire usando un opportuno criterio di convergenza se il seguente integrale generalizzato converge".

Sono confuso sulla richiesta, posso calcolare l'integrale normalmente e dire che converge.. dato che converge? senza usare criteri? Forse è solo esposto male il problema o sto facendo confusione, non so.

[Mephlip]

Partendo dal presupposto che, come dice gugo82, l'integrale si calcola esplicitamente e quindi è abbastanza inutile utilizzare i criteri (a meno che i conti espliciti non siano laboriosi), in realtà l'approccio col confronto asintotico è corretto. Si ha che:
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}=1$$
e per ogni $00$ e $1/\sqrt{1-x^2}>0$. Le ipotesi sono soddisfatte, magari StrilingAlQuadrato avrebbe dovuto esplicitare che il limite del rapporto è $1$ e che le funzioni sono positive. Perché dici così

"sellacollesella":
No, questo te lo sei inventato di sana pianta, ma come vi vengono certe idee?!

sellacollesella?

[moccidentale]

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[Pylord]

Ok, quindi in tema d'esame scriverei una cosa del genere.. era questo che volevo sapere grazie mille.

P.S.: Giusto in caso serva a qualcuno in futuro: è necessario invertire cambiare gli estremi di integrazione se si sostituisce con t (in questo caso passano da (1,0) a (0,1) ).

[Mephlip]

"sellacollesella":
Perché sono troppo precipitoso e in questo caso avevo inteso che con \(x \to 1\) avesse sostituito \(1\)
a numeratore dell'integranda, ma qui la nebbia ha pervaso il mio cervello, scusate tanto!

Ma va, tranquillo, capitano a tutti le sviste per la fretta . Anche io sospettavo ciò, per questo ho esplicitato i passaggi.