Verifica di un limite

[compa90]

Biongiorno, sto verificando il seguente limite $lim_(x to 0) x^2/(2x-1)=0$

Procedo nella seguente maniera, innanzitutto il dominio di $f$ è $X={x in mathbb{R}: x ne 1/2}$.
Dopodiché, ricordo la definizione di limite che nel caso specifico è

$lim_(x to x_0) f(x)=l <=> forall epsilon>0 exists delta(epsilon)>0 \:\ forall x \ in X $ con $0<|x-x_0|
Restringo il dominio di $f$ ad $X'={x in mathbb{R}: 0<|x|<1/2}$, tale insieme certamente contiene un intorno bucato dello zero, quindi, non dovrebbe portare interferenze con la definizione, dunque,

$|x^2/(2x-1)||x^2|/(|2x-1|)|x^2|<|2x-1|epsilon$

dall'altra parte \[ |2x-1|=
\begin{cases}
2x-1 & \quad \text{if } x \ge1/2
\\
1-2x & \quad \text{if } x <1/2
\end{cases} \]

quindi

$|x^2/(2x-1)||x^2|/(|2x-1|)|x^2|<|2x-1|epsilon<=>|x^2|<(1-2x)epsilon$

Ora per $x in X'$ si ha $0<(1-2x)<2$ , dunque ho

$|x^2/(2x-1)||x^2|/(|2x-1|)|x^2|<|2x-1|epsilon<=>|x^2|<(1-2x)epsilon<=>|x^2|<2epsilon<=>x^2<2epsilon$

per cui $-sqrt(2epsilon)0 to delta(epsilon)=sqrt(2epsilon)$.

Va bene lo svolgimento ?


ciao

[gugo82]

Direi di sì.

[compa90]

Perfetto.

Grazie per la risposta