Verifica di un limite
Biongiorno, sto verificando il seguente limite $lim_(x to 0) x^2/(2x-1)=0$
Procedo nella seguente maniera, innanzitutto il dominio di $f$ è $X={x in mathbb{R}: x ne 1/2}$.
Dopodiché, ricordo la definizione di limite che nel caso specifico è
$lim_(x to x_0) f(x)=l <=> forall epsilon>0 exists delta(epsilon)>0 \:\ forall x \ in X $ con $0<|x-x_0|
Restringo il dominio di $f$ ad $X'={x in mathbb{R}: 0<|x|<1/2}$, tale insieme certamente contiene un intorno bucato dello zero, quindi, non dovrebbe portare interferenze con la definizione, dunque,
dall'altra parte \[ |2x-1|=
\begin{cases}
2x-1 & \quad \text{if } x \ge1/2
\\
1-2x & \quad \text{if } x <1/2
\end{cases} \]
quindi
Ora per $x in X'$ si ha $0<(1-2x)<2$ , dunque ho
per cui $-sqrt(2epsilon)0 to delta(epsilon)=sqrt(2epsilon)$.
Va bene lo svolgimento ?
ciao
Procedo nella seguente maniera, innanzitutto il dominio di $f$ è $X={x in mathbb{R}: x ne 1/2}$.
Dopodiché, ricordo la definizione di limite che nel caso specifico è
$lim_(x to x_0) f(x)=l <=> forall epsilon>0 exists delta(epsilon)>0 \:\ forall x \ in X $ con $0<|x-x_0|
Restringo il dominio di $f$ ad $X'={x in mathbb{R}: 0<|x|<1/2}$, tale insieme certamente contiene un intorno bucato dello zero, quindi, non dovrebbe portare interferenze con la definizione, dunque,
$|x^2/(2x-1)||x^2|/(|2x-1|)|x^2|<|2x-1|epsilon$
dall'altra parte \[ |2x-1|=
\begin{cases}
2x-1 & \quad \text{if } x \ge1/2
\\
1-2x & \quad \text{if } x <1/2
\end{cases} \]
quindi
$|x^2/(2x-1)||x^2|/(|2x-1|)|x^2|<|2x-1|epsilon<=>|x^2|<(1-2x)epsilon$
Ora per $x in X'$ si ha $0<(1-2x)<2$ , dunque ho
$|x^2/(2x-1)||x^2|/(|2x-1|)|x^2|<|2x-1|epsilon<=>|x^2|<(1-2x)epsilon<=>|x^2|<2epsilon<=>x^2<2epsilon$
per cui $-sqrt(2epsilon)
Va bene lo svolgimento ?
ciao

Risposte
Direi di sì.

Perfetto.
Grazie per la risposta
Grazie per la risposta
