Analisi matematica di base

Buonasera ragazzi, chiedo aiuto a voi per capire se c'è speranza che questa uguaglianza possa essere vera: $$\int_{-\infty}^{\infty}\log^2|x|\cdot F'(x)\mathrm{d}x = \lim_{\alpha\to-1^+}\int_{-\infty}^\infty 2|x|^\alpha\log|x|\text{sgn}(x)\cdot F(x)\mathrm{d}x$$ dove $F(x)$ è una funzione infinitamente differenziabile e tale che $F(x)=o(x^{-N})$ per $x\to\infty$ per qualsiasi $N$. Grazie in anticipo per qualunque spintina vogliate ...

Buongiorno, vorrei provare a verificare che l'insieme dei numeri razionali $QQ$ è denso in $RR$. Per il concetto di insieme denso faccio riferimento alla seguente definizione $T$ denso in $RR$ se per ogni $a,b in RR $ con $a<b$ esiste $t in T$ per cui $a<t<b$ Per dimostrare questa proprietà distinguo tre casi 1) $0<a<b$ 2) $a<b<0$ e 3) $a<0<b$. Per il terzo considero ...

Buongiorno, sto studiando il concetto di compattezza, in particolare faccio riferimento alla definizione di Heine-Borel. Sto provando di capire perché l'insieme $RR^(ast)=RRcup{-infty}cup{+infty}$ è compatto. Ricordo le due definizioni Copertura: Dato $EsubseteqRR^n$ e sia $\mathfrak{F}$ famiglia di aperti di $RR^n$. L'unione $bigcupA$ con $A in \mathfrak{F}$, è una copertura per $E$ se $EsubseteqbigcupA$. Compatto: $EsubseteqRR^n$ è compatto se da ogni sua copertura di ...

Salve, ho difficoltà a rappresentare "PER STRATI" il Solido : "tetraedro $ Omega $ di vertici : (0,0,0), (1,0,0) , (0,1,0),(0,0,1) " Nello specifico: fissata la variabile x nell' Intervallo [0,1], ottengo che : lo strato $Omega_x$ è "nel piano (y,z), un triangolo rettangolo" A questo punto, il testo mi suggerisce di rappresentare $Omega_x$ come un Dominio "z-semplice" e cioè della forma: $Omega_x={(y,z): 0<=y<=1-x,0<=z<=1-x-y}$ La mia difficoltà ...

Salve , ho svolto questo integrale utilizzando le coordinate ellittiche, ma il risultato del libro mi indica un coefficiente $1/2$ in meno. $D={(x,y)|4x^2+y^2<=1}$ $ int int_(D)^() |x|y^2dx dy $ = $ int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) |1/2rhocostheta|rho^2sin^2theta rho/2 drho d theta $ = $ int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) 1/2rho |costheta|rho^2sin^2theta rho/2 drho d theta $ = $ int_(0)^(1)1/4rho^4 drho int_(0)^(2pi) |costheta|sin^2theta d theta $ = $(1/2 [1/2 rho^5/5]_(1)) (4 int_(0)^(pi/2) costheta sin^2theta d theta)$ =$1/2 (1/10) (4[sin^3theta/3]_(0)])$ = $1/2 (2/15)$ Domanda: dov'è che non ci vuole l' $1/2$ ?

Siano $f_n:A->Y$ con $ninNN$ e $(Y, ||.||_Y)$ uno spazio normato completo, tale che $f_ninF_b(A)={||f||_\infty<+\infty$}. Mostrare che $(F_b(A),||.||_\infty)$ è completo. Sia $f_n$ successione di Cauchy in $F_b(A)$, si ha che $AAepsilon>=0$ $EE\bar n(epsilon)inNN$ tale che $AAn,k>\bar n$ si ha $||f_n-f_k||_\infty<epsilon$. Per cui si ha $su p_(x inA)||f_n(x)-f_k(x)||_Y<epsilon$, quindi $AAx inA$ vale $||f_n(x)-f_k(x)||_Y<epsilon$, quindi $AAx inA$ si ha che $f_n(x)$ è successione di Cauchy in ...

Salve, come scritto nel titolo mi serve capire come dimostrare l'esistenza di limiti che tendono a 0, di funzioni di due variabili. Tolto il problema di dimostrare la non esistenza tramite le restrizioni, mi ritrovo a dover dimostrare questi limiti, con il teorema del confronto. Quello che faccio è considerare la funzione valore assoluto della mia funzione e cercare una funzione più grande, anch'essa che tenda a 0. In che modo devo ragionare? Ecco alcuni esempi che mi sono ritrovato a ...

Ciao ragazzi, si è capito che il valore assoluto mi sta dando parecchie noie, difatti tanto per cambiare ho delle curiosità su questo esercizio che chiede di calcolare massimi e minimi assoluti della funzione. $f(x,y)=x-3y$ $D={(x,y)€R^2 : |y|<=(|x|-1)^2 ; |x|<=1}$ Vi dico come ho approcciato, dunque per la definizione di valore assoluto si ha $-1<=x<=1$ analogamente $-(|x|-1)^2<=y<=(|x|-1)^2$ Sappiamo quindi che x varia tra -1 ed 1 La y invece varia tra quei valori che sembrano assomigliare ad una ...

Salve, ho svolto un esercizio , ma mi è venuto un po' troppo esose in termini di calcoli. Vorrei sapere se ci sono punti in cui posso "snellire" il calcolo e se è stato svolto correttamente. Traccia: Verificare se la funzione: $f(x,y)=(1-x^2-y^2)(x+y)$ i) Ammette Massimi e minimi relativi ii) Si determinino inoltre i Massimi e minimi assoluti nell'insieme $D={(x,y)|x>=0,x^2+y^2<=1}$ ii) D è una "Semiluna" compresa tra I e IV quadrante, con y compresa tra -1 ed 1 ed x compresa tra 0 ed 1. - f è CONTINUA su un ...

Ciao ragazzi, vi mando uno screen di un esercizio che chiede di individuare quali funzioni non sono derivabili nel punto (0;0). Nell'applicare la formula riesco abbastanza agevolmente ad escluderne alcune, o comunque mi riescono abbastanza facilmente altri esercizi. Ho però difficoltà a ragionare sulla c. $f(x,y)=e^sqrt(x^2+y^2)$ Applicando la formula (per la c) mi trovo: $((e^|h|)-1)/h$ chiaramente con il limite per h che tende a zero. La prof ha detto che è proprio questa a non essere ...

Sia S un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali. Sia p un numero reale. Considero valide le seguenti definizioni: 1) p è un punto di accumulazione sinistro di S se e solo se per ogni numero reale δ maggiore di 0 esiste (almeno un) x appartenente a S tale che p

Determinare il massimo ed il minimo assoluti di : $f(x,y)=2x^2-3xy+y^2$ sull'insieme $Q=[-1,1] X [-1,1]$ (mio svolgimento) 1) Punti critici interni: $ gradf(x,y)=(4x-3y,2y-3x)=0 sse (x,y)=(0,0) $ $f(0,0)=0$ 2) Punti critici sulla frontiera : - [SEGMENTO AB]: $ gamma_1(t): { ( x=-1+2t ),( y=-1+2t ),tin[0,1]:} $ $ f_(gamma_1(t)= 0 $ $f'_(gamma_1(t)=0$ tutti i punti di quel lato del quadrato sono PUNTI CRITICI per f , ed in quei punti la funzione vale 0 [Estremi del segmento]: $f(-1,-1)=0$ $f(1,-1)=6$ - [SEGMENTO BC]: $ gamma_2(t): { ( x=1 ),( y=-1+2t ),tin[0,1]:} $ ...

Ciao a tutti, Da ieri mi incaponisco su questo esercizio, che mi chiede di trovare l'area del grafico di $f(x,y)=xy$ definito su $A={(x,y): x^2+y^2<=1 , x>=0}$ Io so che l'insieme indicato è un cerchio di raggio 1 centrato in 0, con considerati solo il primo e il quarto quadrante. Ho sostituito in coordinate polari ma probabilmente mi perdo nei passaggi algebrici perché mi dovrebbe venire un risultato con il $pi$ mentre mi ritrovo alla fine della risoluzione dell'integrale senza. Ah, come ...

Ciao a tutti! Ho un problema con il ricavarmi i punti critici della funzione $ f(x,y)=2xy^2-y^3-x$ Io mi sono calcolato le derivate parziali in x e y, le quali risultano $(2y^2-1 , 4xy-3y^2)$ Il problema vieene quando vado a fare il sistema uguagliandole a zero, per la y (che ricavo tranquillamente dalla prima equazione) mi viene $y= +- (1/sqrt2)$ Quando vado a sostituire nella seconda, mi viene $x=+- (3sqrt2)/8$ mentre nel risultato del libro dovrebbe venire uguale ma con $4$ al ...

Salve a tutti. Volevo chiedervi un suggerimento sul seguente sistema di equazioni differenziali: $\{(a*y''(x)+b*s'(x)+c*z'(x)=0),(d*y'(x)+e*s''(x)+f*s(x)+h*z(x)=C),(j*y'(x)+l*s(x)+t*z(x)=W):}$ Dove $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $h$, $W$, $j$, $l$, $t$ sono delle costanti. Ho pensato di risolverlo in questo modo. Derivo la terza equazione ed ottengo: $z'=-1/t(j*y''+l*s')$ Sostituendo nella ...

Salve, Non capisco da dove salta fuori il meno davanti al termine $omega_1^2bar{AB}sen(alpha-beta)$ nella seconda espressione. A me risulta che dovrebbe esserci un più N.B. Alla fine l'espressione con il meno da il risultato corretto di $dotomega_2$ (risultato che ho ottenuto anch'io uguale con altre equazioni).

Allora avevo dei dubi su queste due cose: 1) nella dimostrazione della caratterizzazione topologica della continuità presa $f:X->Y$ continua su $X$ se $V$ è un aperto di $Y$ devo distinguere in due casi ovvero se $f^-1(V)$ è vuoto allora per definizione è aperto e ho concluso, mentre se $f^-1(V)$ non è vuoto allora prendo $x_0inf^-1(V)$ e poi continuo la dimostrazione, giusto? 2) Sia $I=(alpha,beta)$, il fatto che esiste ...

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico, sia $x_0inX$ e sia $d(*,x_0):X->RR$ definita come $x->d(x,x_0)$, questa funzione è continua in $X$. Io ho fatto così (ditemi se può andar bene): sia $\bar x inX$, allora $AAepsilon>0$ preso $x inX$ tale che $d(x,\bar x)<epsilon$ si ha che $|d(x,x_0)-d(\bar x.x_0)|<=d(x,\bar x)<epsilon$. Per cui mi basta porre $delta=epsilon$ e ho mostrato che $AAepsilon>0$ $EEdelta>0$ tale che $AAx inX$ con $d(x,\bar x)<delta$ si ha ...

Esiste un modo di dimostrare tale teorema senza ricorrere al teorema di Cauchy? Saluti!

Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione : $f(x,y)=e^(-x^2-y^2)$ soggetta al vincolo: $(x-1)^2+4y^2=4$ Personalmente ho applicato il metodo della lagrangiana e cioè ho fatto: $L(x,y,lambda)=e^(-x^2-y^2)-lambda[(x-1)^2+4y^2-4 ]$ e risolvendo il sistema: ho i "candidati ad essere punti critici vincolati" per la f $ { ( (partial L)/(partial x) = -2xe^(-x^2-y^2) -2lambda(x-1)=0),((partialL)/(partialy)= -2ye^(-x^2-y^2) -8lambday=0),( (x-1)^2+4y^2=4 ):} $ Nello specifico: dividendo la prima con la seconda equazione e sostituendo nell'equazione del vincolo, ottengo il punto: $(-1/3,+-sqrt(5)/3)$ che si dimostrano essere due punti ...