Analisi matematica di base
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Salve, come scritto nel titolo mi serve capire come dimostrare l'esistenza di limiti che tendono a 0, di funzioni di due variabili. Tolto il problema di dimostrare la non esistenza tramite le restrizioni, mi ritrovo a dover dimostrare questi limiti, con il teorema del confronto. Quello che faccio è considerare la funzione valore assoluto della mia funzione e cercare una funzione più grande, anch'essa che tenda a 0. In che modo devo ragionare?
Ecco alcuni esempi che mi sono ritrovato a ...
Ciao ragazzi, si è capito che il valore assoluto mi sta dando parecchie noie, difatti tanto per cambiare ho delle curiosità su questo esercizio che chiede di calcolare massimi e minimi assoluti della funzione.
$f(x,y)=x-3y$
$D={(x,y)€R^2 : |y|<=(|x|-1)^2 ; |x|<=1}$
Vi dico come ho approcciato, dunque per la definizione di valore assoluto si ha
$-1<=x<=1$
analogamente
$-(|x|-1)^2<=y<=(|x|-1)^2$
Sappiamo quindi che x varia tra -1 ed 1
La y invece varia tra quei valori che sembrano assomigliare ad una ...
Salve, ho svolto un esercizio , ma mi è venuto un po' troppo esose in termini di calcoli.
Vorrei sapere se ci sono punti in cui posso "snellire" il calcolo
e se è stato svolto correttamente.
Traccia:
Verificare se la funzione: $f(x,y)=(1-x^2-y^2)(x+y)$
i) Ammette Massimi e minimi relativi
ii) Si determinino inoltre i Massimi e minimi assoluti nell'insieme $D={(x,y)|x>=0,x^2+y^2<=1}$
ii) D è una "Semiluna" compresa tra I e IV quadrante, con y compresa tra -1 ed 1 ed x compresa tra 0 ed 1.
- f è CONTINUA su un ...
Ciao ragazzi, vi mando uno screen di un esercizio che chiede di individuare quali funzioni non sono derivabili nel punto (0;0). Nell'applicare la formula riesco abbastanza agevolmente ad escluderne alcune, o comunque mi riescono abbastanza facilmente altri esercizi. Ho però difficoltà a ragionare sulla c.
$f(x,y)=e^sqrt(x^2+y^2)$
Applicando la formula (per la c) mi trovo:
$((e^|h|)-1)/h$ chiaramente con il limite per h che tende a zero.
La prof ha detto che è proprio questa a non essere ...
Sia S un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali.
Sia p un numero reale.
Considero valide le seguenti definizioni:
1) p è un punto di accumulazione sinistro di S se e solo se per ogni numero reale δ maggiore di 0 esiste (almeno un) x appartenente a S tale che p
Determinare il massimo ed il minimo assoluti di : $f(x,y)=2x^2-3xy+y^2$
sull'insieme $Q=[-1,1] X [-1,1]$
(mio svolgimento)
1) Punti critici interni:
$ gradf(x,y)=(4x-3y,2y-3x)=0 sse (x,y)=(0,0) $
$f(0,0)=0$
2) Punti critici sulla frontiera :
- [SEGMENTO AB]: $ gamma_1(t): { ( x=-1+2t ),( y=-1+2t ),tin[0,1]:} $
$ f_(gamma_1(t)= 0 $
$f'_(gamma_1(t)=0$
tutti i punti di quel lato del quadrato sono PUNTI CRITICI per f , ed in quei punti la funzione vale 0
[Estremi del segmento]:
$f(-1,-1)=0$
$f(1,-1)=6$
- [SEGMENTO BC]: $ gamma_2(t): { ( x=1 ),( y=-1+2t ),tin[0,1]:} $
...
Ciao a tutti,
Da ieri mi incaponisco su questo esercizio, che mi chiede di trovare l'area del grafico di $f(x,y)=xy$ definito su $A={(x,y): x^2+y^2<=1 , x>=0}$
Io so che l'insieme indicato è un cerchio di raggio 1 centrato in 0, con considerati solo il primo e il quarto quadrante. Ho sostituito in coordinate polari ma probabilmente mi perdo nei passaggi algebrici perché mi dovrebbe venire un risultato con il $pi$ mentre mi ritrovo alla fine della risoluzione dell'integrale senza.
Ah, come ...
Ciao a tutti!
Ho un problema con il ricavarmi i punti critici della funzione $ f(x,y)=2xy^2-y^3-x$
Io mi sono calcolato le derivate parziali in x e y, le quali risultano $(2y^2-1 , 4xy-3y^2)$
Il problema vieene quando vado a fare il sistema uguagliandole a zero, per la y (che ricavo tranquillamente dalla prima equazione) mi viene $y= +- (1/sqrt2)$
Quando vado a sostituire nella seconda, mi viene $x=+- (3sqrt2)/8$ mentre nel risultato del libro dovrebbe venire uguale ma con $4$ al ...
Salve a tutti.
Volevo chiedervi un suggerimento sul seguente sistema di equazioni differenziali:
$\{(a*y''(x)+b*s'(x)+c*z'(x)=0),(d*y'(x)+e*s''(x)+f*s(x)+h*z(x)=C),(j*y'(x)+l*s(x)+t*z(x)=W):}$
Dove $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $h$, $W$, $j$, $l$, $t$ sono delle costanti.
Ho pensato di risolverlo in questo modo.
Derivo la terza equazione ed ottengo:
$z'=-1/t(j*y''+l*s')$
Sostituendo nella ...
Salve,
Non capisco da dove salta fuori il meno davanti al termine $omega_1^2bar{AB}sen(alpha-beta)$ nella seconda espressione. A me risulta che dovrebbe esserci un più
N.B. Alla fine l'espressione con il meno da il risultato corretto di $dotomega_2$ (risultato che ho ottenuto anch'io uguale con altre equazioni).
Allora avevo dei dubi su queste due cose:
1) nella dimostrazione della caratterizzazione topologica della continuità presa $f:X->Y$ continua su $X$ se $V$ è un aperto di $Y$ devo distinguere in due casi ovvero se $f^-1(V)$ è vuoto allora per definizione è aperto e ho concluso, mentre se $f^-1(V)$ non è vuoto allora prendo $x_0inf^-1(V)$ e poi continuo la dimostrazione, giusto?
2) Sia $I=(alpha,beta)$, il fatto che esiste ...
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico, sia $x_0inX$ e sia $d(*,x_0):X->RR$ definita come $x->d(x,x_0)$, questa funzione è continua in $X$.
Io ho fatto così (ditemi se può andar bene): sia $\bar x inX$, allora $AAepsilon>0$ preso $x inX$ tale che $d(x,\bar x)<epsilon$ si ha che $|d(x,x_0)-d(\bar x.x_0)|<=d(x,\bar x)<epsilon$. Per cui mi basta porre $delta=epsilon$ e ho mostrato che $AAepsilon>0$ $EEdelta>0$ tale che $AAx inX$ con $d(x,\bar x)<delta$ si ha ...
Esiste un modo di dimostrare tale teorema senza ricorrere al teorema di Cauchy?
Saluti!
Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione :
$f(x,y)=e^(-x^2-y^2)$
soggetta al vincolo: $(x-1)^2+4y^2=4$
Personalmente ho applicato il metodo della lagrangiana e cioè ho fatto:
$L(x,y,lambda)=e^(-x^2-y^2)-lambda[(x-1)^2+4y^2-4 ]$
e risolvendo il sistema: ho i "candidati ad essere punti critici vincolati" per la f
$ { ( (partial L)/(partial x) = -2xe^(-x^2-y^2) -2lambda(x-1)=0),((partialL)/(partialy)= -2ye^(-x^2-y^2) -8lambday=0),( (x-1)^2+4y^2=4 ):} $
Nello specifico: dividendo la prima con la seconda equazione e sostituendo nell'equazione del vincolo, ottengo il punto: $(-1/3,+-sqrt(5)/3)$ che si dimostrano essere due punti ...
Consideriamo $M={(x, y, z)inRR^3 | x^2-2z=0, z=x^2+y^2-1}$ la varietà di dimensione $1$ su $RR^3$. Abbiamo che $T_aM=span{((-1),(sqrt(2)),(-1))}$ e $(T_aM)^⟂=span{((2),(0),(-2)),((2),(1/sqrt(2)),(-1))}$. Come faccio a determinare le varietà $a+T_aM$ e $a+(T_aM)^⟂$? Io ad esempio so che $a+T_aM$ è parallela ad $T_aM$ e passa per $a$, quindi devo impostare un equazione su questo punto?
Sia $f:X->Y$ lipschitziana. Se $x_n$ è una successione di Cauchy in $X$ allora $f(x_n)$ è una successione di Cauchy in $Y$.
Per definizione di successione di Cauchy in $X$ si ha che $AAepsilon>0$ $EE\bar k$ tale che $AAh,k>\bar k$ si ha $d_x(x_h,x_k)<epsilon$. Per definizione di funzione lipschitziana $EEL>=0$ tale che $AAh,kinNN$ si ha $d_y(f(x_h),f(x_k))<=Ld_x(x_h,x_k)$. Ma allora $EE\bar k$ tale che ...
Sia $AsubeRRxxRR^n$ un aperto, sia $f:A->RR^n$ tale che esistono $(\partial f)/(\partial y_1),...,(\partial f)/(\partial y_n)$ in $A$ e siano continue in $A$ allora $f$ è localmente lipschitziana in $y$.
Preso $(t_0,y_0)inA$ poiche $A$ aperto $EEdelta,eta>0$ tale che $(t_0-delta,t_0+delta)xxB(y_0,eta)subeA$. Sia $tin(t_0-delta,t_0+delta)$, definisco la funzione da $B(y_0,eta)$ a $RR^n$ tale che $y->f(t,y)$. Poichè le derivate parziali (in $y$) di ...
Ciao a tutti, mi sono imbattuto in questa tipologia di esercizio d'esame preparando analisi 2 e vorrei capire come affrontarlo!
Mi chiedo, innanzitutto per il punto 1) f è di classe C infinito? Secondo me si, x lo è, il seno pure e anche il logaritmo ma non so se devo giustificare in qualche modo o se basta l'osservazione.
Per il secondo punto invece mi sono proprio bloccato, stessa cosa per il terzo, sono cose che ho visto ma non saprei bene come affrontare. Qualcuno ...
Esercizio:
i)Verificare che in un INTORNO del PUNTO (1,1) , l'insieme dei PUNTI (x,y) che soddisfano l'equazione:
$x^5+y^5+xy=3$
è dato dal grafico di una funzione y=g(x)
ii) Stabilire se la funzione g è CONVESSA
i)
1. $f(1,1)=3-3=0$
2. $f_y(1,1)=5+1=6$
--> quindi , per il Teorema del DINI, quell'equazione definisce implicitamente una ed una sola y=g(x)
con g(1)=1.
ii)
Derivando rispetto ad x l'equazione f(x,g(x))=0 si ottiene che:
$g'(1)=-1$ , ...
Consideriamo l'equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti di secondo ordine $ay''+by'+cy=0$ con $a,b,cinRR$ e $a!=0$. Consideriamo l'equazione caratteristica associata $alambda^2+blambda+c=0$ con discriminante nullo, quindi $lambda=-b/(2a)$ con molteplicità $2$. Una soluzione dell'equazione differenziale è sicuramente $e^(-b/(2a)t)$, ora per trovare un altra soluzione linearmente indipendente da quest'ultima ho pensato di fare così: allora nel caso ...
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