Analisi matematica di base

Consideriamo $M={(x, y, z)inRR^3 | x^2-2z=0, z=x^2+y^2-1}$ la varietà di dimensione $1$ su $RR^3$. Abbiamo che $T_aM=span{((-1),(sqrt(2)),(-1))}$ e $(T_aM)^⟂=span{((2),(0),(-2)),((2),(1/sqrt(2)),(-1))}$. Come faccio a determinare le varietà $a+T_aM$ e $a+(T_aM)^⟂$? Io ad esempio so che $a+T_aM$ è parallela ad $T_aM$ e passa per $a$, quindi devo impostare un equazione su questo punto?

Sia $f:X->Y$ lipschitziana. Se $x_n$ è una successione di Cauchy in $X$ allora $f(x_n)$ è una successione di Cauchy in $Y$. Per definizione di successione di Cauchy in $X$ si ha che $AAepsilon>0$ $EE\bar k$ tale che $AAh,k>\bar k$ si ha $d_x(x_h,x_k)<epsilon$. Per definizione di funzione lipschitziana $EEL>=0$ tale che $AAh,kinNN$ si ha $d_y(f(x_h),f(x_k))<=Ld_x(x_h,x_k)$. Ma allora $EE\bar k$ tale che ...

Sia $AsubeRRxxRR^n$ un aperto, sia $f:A->RR^n$ tale che esistono $(\partial f)/(\partial y_1),...,(\partial f)/(\partial y_n)$ in $A$ e siano continue in $A$ allora $f$ è localmente lipschitziana in $y$. Preso $(t_0,y_0)inA$ poiche $A$ aperto $EEdelta,eta>0$ tale che $(t_0-delta,t_0+delta)xxB(y_0,eta)subeA$. Sia $tin(t_0-delta,t_0+delta)$, definisco la funzione da $B(y_0,eta)$ a $RR^n$ tale che $y->f(t,y)$. Poichè le derivate parziali (in $y$) di ...

Ciao a tutti, mi sono imbattuto in questa tipologia di esercizio d'esame preparando analisi 2 e vorrei capire come affrontarlo! Mi chiedo, innanzitutto per il punto 1) f è di classe C infinito? Secondo me si, x lo è, il seno pure e anche il logaritmo ma non so se devo giustificare in qualche modo o se basta l'osservazione. Per il secondo punto invece mi sono proprio bloccato, stessa cosa per il terzo, sono cose che ho visto ma non saprei bene come affrontare. Qualcuno ...

Esercizio: i)Verificare che in un INTORNO del PUNTO (1,1) , l'insieme dei PUNTI (x,y) che soddisfano l'equazione: $x^5+y^5+xy=3$ è dato dal grafico di una funzione y=g(x) ii) Stabilire se la funzione g è CONVESSA i) 1. $f(1,1)=3-3=0$ 2. $f_y(1,1)=5+1=6$ --> quindi , per il Teorema del DINI, quell'equazione definisce implicitamente una ed una sola y=g(x) con g(1)=1. ii) Derivando rispetto ad x l'equazione f(x,g(x))=0 si ottiene che: $g'(1)=-1$ , ...

Consideriamo l'equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti di secondo ordine $ay''+by'+cy=0$ con $a,b,cinRR$ e $a!=0$. Consideriamo l'equazione caratteristica associata $alambda^2+blambda+c=0$ con discriminante nullo, quindi $lambda=-b/(2a)$ con molteplicità $2$. Una soluzione dell'equazione differenziale è sicuramente $e^(-b/(2a)t)$, ora per trovare un altra soluzione linearmente indipendente da quest'ultima ho pensato di fare così: allora nel caso ...

Posto $d(x,A)=text{inf}_(ainA)d(x,a)$ con $AsubeX$, mostrare che per ogni $x,x_0inX$ vale: $|d(x,A)-d(x_0,A)|<=d(x,x_0)$ Allora ho fatto così: Siano $d(x,\hat a)=text{inf}_(ainA)d(x,a)$ e $d(x_0,\bar a)=text{inf}_(ainA)d(x_0,a)$. Supponiamo $d(x,\hat a)>=d(x_0,\bar a)$, allora abbiamo che: $|d(x,\hat a)-d(x_0,\bar a)|=d(x,\hat a)-d(x_0,\bar a)$, per definizione di estremo inferiore si ha che $d(x,\hat a)<=d(x,\bar a)$, per cui $d(x,\hat a)-d(x_0,\bar a)<=d(x,\bar a)-d(x_0,\bar a)$ e usando la disuguaglianza triangolare abbiamo che $d(x,\bar a)-d(x_0,\bar a)<=d(x,x_0)$. Adesso supponiamo che $d(x_0,\bar a)>=d(x,\hat a)$, allora abbiamo che: $|d(x,\hat a)-d(x_0,\bar a)|=|d(x_0,\bar a)-d(x,\hat a)|=d(x_0,\bar a)-d(x,\hat a)<=d(x_0,\hat a)-d(x,\hat a)<=d(x,x_0)$. Può ...

Buongiorno, qualche buona anima potrebbe spiegarmi perchè vale questa uguaglianza? Presa una funzione scalare reale, dipendente dalle variabili $ t $ e $ z $ reali: $ f(t-z/v) $ con $ v $ parametro reale, si ha $ (partial f)/(partial z)= (partial )/(partial z)f(t-z/v)=-1/v(partial f(t-z/v))/(partial (t-z/v) $

Siano $I,J$ due intervalli aperti di $RR$. Siano $ginC(I,RR)$ e $hinC(J,RR)$ tale che $h(y)!=0$ per ogni $yinJ$. Siano $t_0ini nt(I)$, $y_0ini nt(J)$. Allora esiste un intervallo $I_1subeI$ tale che $t_0inI_1$ e il problema di Cauchy: $\{(y'(t)=g(t)h(y)),(y(t_0)=y_0):}$ ammette un unica soluzione definita su $I_1$. Allora vediamo se può andare bene così: Sia $v:I_1->J$ soluzione dell'equazione differenziale, allora ...

Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere un esercizio con la delta di Dirac. Il problema chiede di calcolare il valore medio $<r>$ della distanza delle particelle dall’origine data una certa hamiltoniana tridimensionale $H(\vec{q},\vec{p}) = \frac{p^2}{2m}+aq^3$. Dove $p = |\vec{p}|$ e $q =|\vec{q}|$ e $a>0$ è una costante dimensionale. Io so che la densità di probabilità che una particella si trovi a distanza r dall’origine è data da: $P(r) = \frac{1}{Z_{1}}\int\frac{d^3q\ d^3p\}{h^3}e^{-\betaH(\vec{q},\vec{p})}\delta (|\vec{q}|-r)$ Una volta calcolata ...

Salve ragazzi sono nuovo in questo forum e questo è il mio primo argomento. Cercherò di essere più chiaro possibile e di usare una corretta formattazione. Vi riporto il testo del seguente problema: Sia \(f(x,y)=(x^2+1)^y\): a) Calcolare la derivata direzionale di \(f\) nel punto \((-1,0)\) nella direzione parallela ed equiversa a \(v=(1,\sqrt{3})\) b) Determinare la direzione \(w\) per cui la derivata direzionale \((-1,0)\) è minima e calcolarne il valore Nello svolgimento del punto a non ...

Buonaseraa Ho un problema con il calcolo dei limiti agli estremi del dominio di una funzione definita implicitamente dalla forma: \[ e^{x-y}-y-4x+1=0 \] Ora, so che l'implicita esiste ecc ecc, è definita in tutto $RR$. In generale i limiti agli estremi del dominio li calcolo fissando una "quota" $y'$: per $x \rightarrow \pm \infty$ ho: \[ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} e^{x-y'}-y'-4x+1=+ \infty \] Quindi, preso un intorno di $\pm \infty$ so che per ogni ...

Ciao a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sulla definizione di insieme mai denso. Un sottoinsieme $E \subset X$ è denso se la sua chiusura coincide con l'insieme: $\overline{E} = X$. Una definizione equivalente è che ogni elemento dello spazio $X$ sia limite di una successione di elementi di $E$, ovvero $\forall x \in X$ $\exists \{x_n\} \subset E$ t.c. $x_n \to x$. Un sottoinsieme $E \subset X$ è mai denso se l'interno della sua chiusura è vuoto: ...

devo sviluppare $ ln(2cosh(x))-xtgh(x) $ per x>>1 e giungere al risultato $ lne^x-x $ le ho provate tutte, sia formule di eulero, sia sviluppi di taylor.. penso sia immediato, ma qualcuno potrebbe spiegarmi come fare?

Ciao! Ieri ho visto questo "joke video" (https://www.youtube.com/watch?v=cDJb-TIhmdI) che mi ha lasciato abbastanza incuriosito. Devo dire che non ci ho sbattuto troppo la testa perché essendo in sessione il tempo scarseggia Volevo chiedere se qualcuno conosce la soluzione o quantomeno il metodo con cui ricondurre tale integrale ad uno noto. Grazie mille

Buon giorno! Risolvendo il seguente limite sono arrivato ad una conclusione che mi da un risultato($=1$) diverso rispetto wolframAlpha ($=0$), vorrei sapere dove commetto l'errore $lim (x to +oo) ((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2+2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)$ Ho prima scomposto la frazione così d'avere $lim (x to +oo) ((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)+(2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)$ Quindi $lim (x to +oo) 1+ lim (x to +oo)(2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)$ Quindi prendendo in considerazione il denominatore del secondo limite, ho sviluppato le potenze per avere: $((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)= ((x^4+2x^2+1)(x^4+2x^2+1))^(1/3)-(x^(8/3)+2x^(4/3)+1)$ $=(x^(8)+4x^6+6x^4+4x^2+1)^(1/3)-(x^(8/3)+2x^(4/3)+1)$ Prendendo come riferimento nella ...

Ciao, sto avendo dei dubbi riguardo alla soluzione del seguente integrale: \(\displaystyle ∫1/(e^x+(1/e^x) )dx \) Quando eseguo la sostituzione per \(\displaystyle (1/e^x) \) il risultato che ottengo è \(\displaystyle -arctan(1/e^x) \) Mentre eseguendo la sostituzione per \(\displaystyle (e^x) \) il risultato è \(\displaystyle arctan(e^x) \) Ho la sensazione di star facendo qualche errore banale (ps: non sono riuscito a mettere il simbolo di frazione, sorry )

Sia $y^((n))=a_(n-1)(t)y^((n-1))+...+a_0(t)y+b(t)$ con $a_(n-1)(t),...,a_0(t),b(t):I->RR$ funzioni continue, vogliamo determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale usando il metodo di variazione della costante. Sia ${varphi_1,...,varphi_n}$ una base delle soluzioni dell'equazione differenziale omogenea $y^((n))=a_(n-1)(t)y^((n-1))+...+a_0(t)y$, dobbiamo determinare le funzioni $c_1(t),...,c_n(t)inC^1(I,RR)$ tale che $varphi_p(t)=\sum_{k=1}^n c_k(t)varphi_k(t)$ (dove $varphi_p(t)$ è la soluzione particolare dell'equazione differenziale). Abbiamo che $phi_p(t)=(varphi_p(t),varphi_p'(t),...,varphi_p^((n-1))(t))$ è soluzione del ...

Buonasera, preparandomi per l'esame di Analisi 1 mi sono imbattuto in questo esercizio e, anche se semplice, vorrei capire bene come risolvere, grazie mille! Determinare il numero di soluzioni reali dell’equazione x^8−x+a = 0 in funzione del parametro a reale.

Sia $f:RR \to RR$ una funzione continua in $\bart$. Vorrei dimostrare che $\int_{\bart}^t f(s)ds=|t-\bart|f(\bart)+o(|t-\bart|)$. L'unica cosa che mi viene in mente è osservare che $\lim_{t \to \bart}\frac{\int_{\bart}^t f(s)ds}{|t-\bart|}=f(\bart)$. Come posso utilizzare questo fatto per dimostrare la tesi?