Natura di una retta di punti critici

[demda]

Salve a tutti, sto svolgendo questo esercizio ma non riesco a venirne a capo, spero che qualcuno possa aiutarmi.
Data la seguente funzione $f(x,y)=2^{x^2-y^2}(x-y)^2$ trovare eventuali punti critici e stabilire la loro natura.
Come prima cosa ho calcolato il gradiente della funzione:
$∇f(x,y)=(2^{x^2-y^2}(x-y)(2xlog(2)(x-y)+2), 2^{x^2-y^2}(x-y)(-2ylog(2)(x-y)-2))$
fatto ciò ponendolo pari a zero $∇f(x,y)=(0,0)$ ho ricavato la retta di punti stazionari $y=x$ il mio dubbio ora è come capire la natura dei punti stazionari di tale retta, e magari il procedimento in generale cosi da poterlo applicare anche ad altri esercizi di questo tipo. Grazie mille.

[Mephlip]

Quanto vale la funzione in quei punti?

Cosa puoi dire sul segno della funzione?

[demda]

Ciao, grazie per avermi risposto. Ho osservato che la funzione è maggiore di zero tranne nei punti appartenenti alla retta in cui vale zero, ma non saprei in che modo questo mi possa aiutare.

[Mephlip]

Prego! Come non può aiutarti? Ti dice tutto . Devi ripassare le definizioni di punti di massimo e minimo. Dagli un'occhiata e, se giungi a delle conclusioni, scrivile pure qui che le analizziamo insieme.

[demda]

"Mephlip":Prego! Come non può aiutarti? Ti dice tutto . Devi ripassare le definizioni di punti di massimo e minimo. Dagli un'occhiata e, se giungi a delle conclusioni, scrivile pure qui che le analizziamo insieme.

"Un punto $x_0$ si dice di massimo [minimo] locale se esiste un intorno di $x_0$ tale che per ogni x appartenente a tale intorno intersezione il dominio della funzione si ha che $f(x)<=f(x_0)$ $[f(x)>=f(x_0)]$"
Deduco quindi la retta di punti critici $y=x$ sia una retta di minimi locali ?

[Mephlip]

Sì, esatto. Sono infiniti punti di minimo locale per la funzione. Ma c'è di più: c'è anche un'altra definizione di punto di massimo/minimo, quello assoluto. Che mi dici di quella, in questo caso?

[demda]

anch'essa è soddisfatta. Ti ringrazio infinitamente