Analisi matematica di base

Salve, il mio libro di analisi 1 (Marcellini-Sbordone) propone, come esercizio, una dimostrazione alternativa della divergenza della serie armonica tramite il criterio di Cauchy. Non saprei proprio come iniziare...mi sapreste dare qualche linea guida? (In realtà la cosa che mi preme sapere è, in generale, come impostare il ragionamento con una serie qualunque) Grazie anticipatamente!

Ciao, stavo leggendo questa https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra ... uccessione e ho un dubbio legato ad un passaggio, praticamente dove prende "se $0<ε<|l|/2$ [...]", ma imponendo questa condizione non dovrebbe più funzionare la definizione di limite di una successione che recida "Per ogni epsilon..." dimostro che vale solo per epsiolon sotto |l|/2. Non riesco bene a capire questo passaggio, spero in qualche delucidazione

Nel mio libro di testo si definisce l'integrale curvilineo (di 2° specie) di una $F: E\subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ in $C^1$ lungo una curva regolare $r: [a,b] \to \mathbb{R}^3$ con sostegno $\gamma$ contenuto in E come $\int_{\gamma}F\cdot dr = \int_{a}^{b}F(r(t))\cdot r'(t)dt$ e poi si dice che questo si può ricondurre a un'integrale di linea lungo $\gamma$ avendosi $\int_{a}^{b}F(r(t))\cdot r'(t)dt = \int_{a}^{b}(F(r(t))\cdot T(t))|r'(t)|dt = \int_{\gamma}(F\cdot T)ds$ ove T è il versore tangente di r. Io ho qualche problema a capire l'ultima notazione, infatti essendo (suppongo $G: E \to \mathbb{R}^3$) ...

Buonasera, come da titolo dovrei verificare un limite tramite definizione. $\lim_{n \to \2}(3x+1)/(x-1)=7$ Inizio in questo modo: $|(3x+1)/(x-1)-7|=4|(x-2)/(x-1)|<\epsilon$ $\{(x-2)/(x-1)<\epsilon/4,(x-2)/(x-1)> -\epsilon/4:}$ Ora se voglio continuare devo svolgere queste due disequazioni letterarie? Io ho provato ma viene una cosa davvero orribile e non credo sia giusta. Dando uno sguardo al libro me lo svolge così: Per x appartenente all'intorno $x_0=2$ di ampiezza $1/2$, risulta $x>2-1/2$, quindi $4|(x-2)/(x-1)|< 4/(1/2)|x-2|=8|x-2|$ per ogni ...

Ciao a tutti, stavo svolgendo degli esercizi sullaverifica dei limiti tramite definizione, quindi con epsilon delta,ma mi ritrovo con un dubbio: come verifico un limite di una funzione costante tramite definizione? esempio: se volessi fare verificare che limite di f(x)=2 per x->4 vale 2. Non riesco a impostare alcuna disequazione per verificarla. Scusate la domanda stupida

Salve a tutti. Devo risolvere questo limite con l'utilizzo dei limiti notevoli, però purtroppo non ho idea su come farlo. Vi ringrazio. $ Lim x->1 [(1+senx - sen1)^logx -1]/(x-1)^2 $

Salve a tutti, sto studiando la dimostrazione del seguente teorema di Fritz John. Sia [tex]I[/tex] un sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] e siano [tex]f:I \to \mathbb{R}[/tex], [tex]g:I \to \mathbb{R}^m[/tex], [tex]h:I \to \mathbb{R}^p[/tex] funzioni di classe [tex]C^1(I)[/tex]. Se esiste un intorno [tex]U \subset \mathbb{R}^n[/tex] di [tex]x_0 \in I[/tex] tale che: [tex]f(x_0)\leq f(x), \; \; \forall x \in U \cap \{ x \in I |g(x) \leq 0, h(x)=0 \}[/tex] allora esistono [tex]\lambda_0 ...

Un insieme è detto finito se esiste un n nei reali e taleche possa essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme {1,2,...,n}. Però mi chiedevo: essendo n arbitrario e potendo andare avanti all'infinito, non comprendo perché esso corrisponda all'idea di finitezza. E' un "processo" che può andare avanti all'infinito. Non comprendo bene 'sta definizione.

Salve a tutti ho questo, probabilmente molto semplice, integrale doppio da risolvere: L'integrale in questione è : \(\displaystyle \int\int (y+z)d\gamma \) Il dominio di integrazione è la semisfera di raggio 2 centrata nell'origine con \(\displaystyle z>=0 \) quindi \(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 < 4 \). Per risolverlo vado in coordinate sferiche e quindi \(\displaystyle \begin{equation} \begin{cases} x = rsin(\phi)cos(\theta) \\y = rsin(\phi)sin(\theta) \\z = rcos(\phi) ...

Come da titolo mi è sorto un dubbio relativo al prodotto scalare tra matrici. Ma esiste? Se sì, come si calcola? Non avendo trovato nulla a riguardo, mi rivolgo a voi.

Buongiorno a tutti. Premesso che non so nulla di sommatorie, mi ritrovo con la seguente sommatoria $ sum_(n = 1)^N 1/(1+n*\bar{x} $ dove $ bar(x) $ è un valore fisso ed compreso tra 0 e 1, ed $ n in N $ . Vi chiedo come posso sviluppare la sommatoria, in modo tale da avere una formula per calcolare? Ad esempio se $ sum_(n = 1 ) ^ N n $ allora si ha $ sum_(n = 1 ) ^ N n = N*(1+N)/2 $. Ma con la mia serie, come si ottiene? Grazie a tutti e spero di essere stato chiaro.

Devo integrare Inizialmente sbagliando ho posto $x^2<=y<=4-x-z$ e ho pensato di integrare per fili lungo y, ottenendo così l'integrale: $\int_0^2\int_0^(2-x)\int_(x^2)^(4-x-z) dydzdx$ non mi sono accorto dell'errore fintanto che non ho guardato la soluzione In realtà riesco a capire la soluzione $\int_0^1\int_(x^2)^(2-x)\int_0^(-y-x+4)...$ cioè ha posto $x^2<=y<=2-x$ ecc. Tuttavia non capisco perché la mia sia errata essendo comunque y compreso tra quei due valori che ho assegnato nel mio svolgimento errato. Grazie

Rimango con un dubbio per questo esercizio $lim_((x,y)->(1,1)) (cos(xy)(y-1)^3)/((x-1)^2+|y-1|^3$ Mi piacerebbe chiedervi una cosa sulla seconda parte dell'esercizio dove chiede di risolvere il limite (o dire se non esiste). Ho pensato di svolgere la sostuzione: u=x-1 v=y-1 ottenendo così: $lim_((u,v)->(0,0)) (cos(u+1)(v+1)v^3)/((u)^2+|v|^3$ restringendo a (0,v) ottengo $lim_((u,v)->(0,0)) (cos(1)*v^3)/|v|^3$ e trovandomi con valore assoluto avrei $(v^3)/|v|^3$ cioè due soluzioni -cos(1) e cos(1) IMPOSSIBILE E' giusto come ragionamento? Ringrazio moltissimo

Determinare inf/sup della funzione $f(x,y)=\frac{x+y^2}{x^2+y}$ nell'insieme $D={(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\ge 1 \ , 1/x\ley\le1}$ Si vede subito che D è illimitato in quanto (brutalmente) la x può tendere all'infinito. Inoltre in D vale che $f(x,y)\ge 0$, per cui questo mi fa pensare che inf=0. Calcoliamo $\lim_{x^2+y^2\rightarrow+\infty} f(x,y)$: in D vale $f(x,y)\le\frac{x+1}{x^2+1/x}=\frac{x^2+x}{x^3+1}$ e quindi in polari: $f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\le\frac{\rho^2\cos^2\theta+\rho\cos\theta}{\rho^3\cos^3\theta +1}\le\frac{\rho^2+\rho}{-\rho^3+1}$ e per $\rho\rightarrow+\infty$ vale zero, quindi per i carabinieri il limite iniziale vale zero. Inoltre la disuguaglianza $f\ge0$ in realtà è ...

Quando si esprimono il seno e coseno in funzione della tangente,quale segno si usa? Esempio lavorando con queste equazioni : a*senx + b*cosx =2 sostituisco : $ senx = (+\-) (tg x) /(sqrt(1+(tgx)^2)) ; cosx= (+\-) 1/(sqrt(1+(tgx)^2)) $ , e poi continuo i calcoli etc....trovo i due valori di a e b etc.... Ma quali segni dovrò usare per i successivi calcoli? Il libro usa sempre il + , a prescindere del quadrante in cui lavora e in cui trova le soluzioni Grazie

a) Sia $(a_n)$ una successione di numeri reali tale che $a_n> 0$ e $a_(n+1)=(n^2 + 1)a_n$ . Dire se converge la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n/(2^(2n)+1)$ b) Provare che se $(a_n)$ è una successione tale che $a_n$ non tende a $0$ per $n → ∞$, allora esiste una sottosuccessione $(a_σ(n))$ di $(a_n)$ e un numero $δ > 0$ tale che $|a_σ(n)| > δ AA n in NN$ c) Provare che se $(a_n)$ è una successione tale che ...

Devo calcolare $\int_A y|\cosx|\ \dx \dy$ dove $A=[0,\pi]\times[-1,0]$ Il problema è che non riesco a capire bene come separare l'insieme A nei due insiemi $A^+={(x,y)\in\mathbb{R}^2 | \cosx\ge0}$ e $A^{-} ={(x,y)\in\mathbb{R}^2 | \cosx\le\0}$. A+ dovrebbe essere questo: $A^+={x\in[0,\pi/2] \ ,-1\ley\le\cosx}$, (ma non ne sono assolutamente certo) mentre per A- non so proprio come procedere

Ciao, ho un piccolo dubbio nella ricerca di massimi/minimi o flessi di una funzione. Siccome a volte calcolare la derivata prima e la derivata seconda diventa abbastanza complicato, mi sembra di aver capito che ci sia un altro metodo, cioè utilizzando gli sviluppi di Taylor.. Partendo dal presupposto che la derivata della funzione non sia uguale a zero: se la $f'(0) = 0$ è di ordine pari allora significa che può essere un massimo o un minimo a seconda del segno se la $f'(0) = 0$ è ...

Per quali $alpha in RR$ la seguente funzione è in $L^1(RR^2)$: $f_alpha(x, y) = (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha) $ Ho difficoltà con questo tipo di esercizio. Allora io lo risolverei così, ma non credo sia giusto: $f_alpha in L^1(RR^2) <=> |f_alpha| in L^1(RR^2)$ Per il teorema di Tonelli: $\int int_{RR^2} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha) dxdy = \int_{-oo}^{+oo}(int_{-oo}^{+oo} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy $ $= \int_{0}^{beta}(int_{0}^{beta} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy + \int_{beta}^{+oo}(int_{beta}^{+oo} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy + \int_{-oo}^{-beta}(int_{-oo}^{-beta} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy + \int_{-beta}^{0}(int_{-beta}^{0} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy$ Adesso posso lavorare sui singoli pezzi: $|f_alpha(x,y)|$ $~_(0,0)= 1/(x^2+y^2)^(alpha-1)$ $\int_{0}^{beta}(int_{0}^{beta} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy=\int_{0}^{beta}(int_{0}^{beta} (1/(x^2+y^2)^(alpha-1)dx) dy$ $int_{0}^{beta} 1/(x^2+y^2)^(alpha-1)dx$ converge se $alpha<2$ e così quindi anche quando poi lo integro rispetto ad ...

Calcolare: $lim_{n \to \infty} int_{n}^{n^2} (senx)/x dx$ $lim_{n \to \infty} int_{n}^{n^2} (senx)/x dx = lim_{n \to \infty} ( int_{0}^{n^2} (senx)/x dx - int_{0}^{n} (senx)/x dx)$ $lim_{n \to \infty} int_{0}^{n^2} (senx)/x dx = int_{0}^{+oo} (senx)/x dx = pi/2$ $lim_{n \to \infty} int_{0}^{n} (senx)/x dx = int_{0}^{+oo} (senx)/x dx = pi/2$ $=>lim_{n \to \infty} int_{n}^{n^2} (senx)/x dx=0$ E' giusto così oppure mi sto perdendo qualcosa? Ora devo solo far vedere che $int_{0}^{+oo} (senx)/x dx = pi/2$, ma l'abbiamo già dimostrato in classe. Grazie mille.