Analisi matematica di base
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Salve a tutti,
sto studiando la dimostrazione del seguente teorema di Fritz John.
Sia [tex]I[/tex] un sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] e siano [tex]f:I \to \mathbb{R}[/tex], [tex]g:I \to \mathbb{R}^m[/tex], [tex]h:I \to \mathbb{R}^p[/tex] funzioni di classe [tex]C^1(I)[/tex]. Se esiste un intorno [tex]U \subset \mathbb{R}^n[/tex] di [tex]x_0 \in I[/tex] tale che:
[tex]f(x_0)\leq f(x), \; \; \forall x \in U \cap \{ x \in I |g(x) \leq 0, h(x)=0 \}[/tex]
allora esistono [tex]\lambda_0 ...
Un insieme è detto finito se esiste un n nei reali e taleche possa essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme {1,2,...,n}.
Però mi chiedevo: essendo n arbitrario e potendo andare avanti all'infinito, non comprendo perché esso corrisponda all'idea di finitezza. E' un "processo" che può andare avanti all'infinito.
Non comprendo bene 'sta definizione.
Salve a tutti ho questo, probabilmente molto semplice, integrale doppio da risolvere:
L'integrale in questione è : \(\displaystyle \int\int (y+z)d\gamma \)
Il dominio di integrazione è la semisfera di raggio 2 centrata nell'origine con \(\displaystyle z>=0 \) quindi \(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 < 4 \).
Per risolverlo vado in coordinate sferiche e quindi \(\displaystyle
\begin{equation}
\begin{cases}
x = rsin(\phi)cos(\theta)
\\y = rsin(\phi)sin(\theta)
\\z = rcos(\phi)
...
Come da titolo mi è sorto un dubbio relativo al prodotto scalare tra matrici. Ma esiste? Se sì, come si calcola? Non avendo trovato nulla a riguardo, mi rivolgo a voi.
Buongiorno a tutti.
Premesso che non so nulla di sommatorie, mi ritrovo con la seguente sommatoria
$ sum_(n = 1)^N 1/(1+n*\bar{x} $
dove $ bar(x) $ è un valore fisso ed compreso tra 0 e 1, ed $ n in N $ .
Vi chiedo come posso sviluppare la sommatoria, in modo tale da avere una formula per calcolare?
Ad esempio se $ sum_(n = 1 ) ^ N n $ allora si ha $ sum_(n = 1 ) ^ N n = N*(1+N)/2 $. Ma con la mia serie, come si ottiene?
Grazie a tutti e spero di essere stato chiaro.
Devo integrare
Inizialmente sbagliando ho posto
$x^2<=y<=4-x-z$ e ho pensato di integrare per fili lungo y, ottenendo così l'integrale: $\int_0^2\int_0^(2-x)\int_(x^2)^(4-x-z) dydzdx$ non mi sono accorto dell'errore fintanto che non ho guardato la soluzione
In realtà riesco a capire la soluzione $\int_0^1\int_(x^2)^(2-x)\int_0^(-y-x+4)...$ cioè ha posto $x^2<=y<=2-x$ ecc.
Tuttavia non capisco perché la mia sia errata essendo comunque y compreso tra quei due valori che ho assegnato nel mio svolgimento errato.
Grazie
Rimango con un dubbio per questo esercizio
$lim_((x,y)->(1,1)) (cos(xy)(y-1)^3)/((x-1)^2+|y-1|^3$
Mi piacerebbe chiedervi una cosa sulla seconda parte dell'esercizio dove chiede di risolvere il limite (o dire se non esiste).
Ho pensato di svolgere la sostuzione:
u=x-1
v=y-1
ottenendo così:
$lim_((u,v)->(0,0)) (cos(u+1)(v+1)v^3)/((u)^2+|v|^3$
restringendo a (0,v) ottengo
$lim_((u,v)->(0,0)) (cos(1)*v^3)/|v|^3$ e trovandomi con valore assoluto avrei $(v^3)/|v|^3$ cioè due soluzioni -cos(1) e cos(1)
IMPOSSIBILE
E' giusto come ragionamento?
Ringrazio moltissimo
Determinare inf/sup della funzione $f(x,y)=\frac{x+y^2}{x^2+y}$ nell'insieme $D={(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\ge 1 \ , 1/x\ley\le1}$
Si vede subito che D è illimitato in quanto (brutalmente) la x può tendere all'infinito.
Inoltre in D vale che $f(x,y)\ge 0$, per cui questo mi fa pensare che inf=0.
Calcoliamo $\lim_{x^2+y^2\rightarrow+\infty} f(x,y)$: in D vale $f(x,y)\le\frac{x+1}{x^2+1/x}=\frac{x^2+x}{x^3+1}$ e quindi in polari: $f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\le\frac{\rho^2\cos^2\theta+\rho\cos\theta}{\rho^3\cos^3\theta +1}\le\frac{\rho^2+\rho}{-\rho^3+1}$ e per $\rho\rightarrow+\infty$ vale zero, quindi per i carabinieri il limite iniziale vale zero.
Inoltre la disuguaglianza $f\ge0$ in realtà è ...
Quando si esprimono il seno e coseno in funzione della tangente,quale segno si usa?
Esempio lavorando con queste equazioni :
a*senx + b*cosx =2
sostituisco :
$ senx = (+\-) (tg x) /(sqrt(1+(tgx)^2)) ; cosx= (+\-) 1/(sqrt(1+(tgx)^2)) $
, e poi continuo i calcoli etc....trovo i due valori di a e b etc....
Ma quali segni dovrò usare per i successivi calcoli? Il libro usa sempre il + , a prescindere del quadrante in cui lavora e in cui trova le soluzioni
Grazie
a) Sia $(a_n)$ una successione di numeri reali tale che $a_n> 0$ e $a_(n+1)=(n^2 + 1)a_n$ . Dire se converge la serie
$\sum_{n=1}^\infty a_n/(2^(2n)+1)$
b) Provare che se $(a_n)$ è una successione tale che $a_n$ non tende a $0$ per $n → ∞$, allora esiste una sottosuccessione $(a_σ(n))$ di $(a_n)$ e un numero $δ > 0$ tale che $|a_σ(n)| > δ AA n in NN$
c) Provare che se $(a_n)$ è una successione tale che ...
Devo calcolare $\int_A y|\cosx|\ \dx \dy$ dove $A=[0,\pi]\times[-1,0]$
Il problema è che non riesco a capire bene come separare l'insieme A nei due insiemi $A^+={(x,y)\in\mathbb{R}^2 | \cosx\ge0}$
e $A^{-} ={(x,y)\in\mathbb{R}^2 | \cosx\le\0}$.
A+ dovrebbe essere questo: $A^+={x\in[0,\pi/2] \ ,-1\ley\le\cosx}$, (ma non ne sono assolutamente certo) mentre per A- non so proprio come procedere
Ciao,
ho un piccolo dubbio nella ricerca di massimi/minimi o flessi di una funzione.
Siccome a volte calcolare la derivata prima e la derivata seconda diventa abbastanza complicato, mi sembra di aver capito che ci sia un altro metodo, cioè utilizzando gli sviluppi di Taylor..
Partendo dal presupposto che la derivata della funzione non sia uguale a zero:
se la $f'(0) = 0$ è di ordine pari allora significa che può essere un massimo o un minimo a seconda del segno
se la $f'(0) = 0$ è ...
Per quali $alpha in RR$ la seguente funzione è in $L^1(RR^2)$:
$f_alpha(x, y) = (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha) $
Ho difficoltà con questo tipo di esercizio. Allora io lo risolverei così, ma non credo sia giusto:
$f_alpha in L^1(RR^2) <=> |f_alpha| in L^1(RR^2)$
Per il teorema di Tonelli:
$\int int_{RR^2} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha) dxdy = \int_{-oo}^{+oo}(int_{-oo}^{+oo} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy $
$= \int_{0}^{beta}(int_{0}^{beta} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy + \int_{beta}^{+oo}(int_{beta}^{+oo} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy + \int_{-oo}^{-beta}(int_{-oo}^{-beta} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy + \int_{-beta}^{0}(int_{-beta}^{0} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy$
Adesso posso lavorare sui singoli pezzi:
$|f_alpha(x,y)|$ $~_(0,0)= 1/(x^2+y^2)^(alpha-1)$
$\int_{0}^{beta}(int_{0}^{beta} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy=\int_{0}^{beta}(int_{0}^{beta} (1/(x^2+y^2)^(alpha-1)dx) dy$
$int_{0}^{beta} 1/(x^2+y^2)^(alpha-1)dx$ converge se $alpha<2$ e così quindi anche quando poi lo integro rispetto ad ...
Calcolare: $lim_{n \to \infty} int_{n}^{n^2} (senx)/x dx$
$lim_{n \to \infty} int_{n}^{n^2} (senx)/x dx = lim_{n \to \infty} ( int_{0}^{n^2} (senx)/x dx - int_{0}^{n} (senx)/x dx)$
$lim_{n \to \infty} int_{0}^{n^2} (senx)/x dx = int_{0}^{+oo} (senx)/x dx = pi/2$
$lim_{n \to \infty} int_{0}^{n} (senx)/x dx = int_{0}^{+oo} (senx)/x dx = pi/2$
$=>lim_{n \to \infty} int_{n}^{n^2} (senx)/x dx=0$
E' giusto così oppure mi sto perdendo qualcosa?
Ora devo solo far vedere che $int_{0}^{+oo} (senx)/x dx = pi/2$, ma l'abbiamo già dimostrato in classe.
Grazie mille.
Ho problemi nel calcolare il $\lim_{x^2+y^2\rightarrow +\infty} \frac{x^2y^3}{3+2x^4+|y|^9}$, credo valga zero ma non so come dimostrarlo
Ho provato a fare in questo modo: $0 \le |\frac{x^2y^3}{3 + 2x^4 + |y|^9}|$ tuttavia vale $|y|\gey$ dunque posso maggiorarlo:
$0 \le |\frac{x^2y^3}{3 + 2x^4 + |y|^9}|\le |\frac{x^2y^3}{1+y^9}| $ poi passando in polari ottengo: $0\le |\frac{\rho^5\cos^2\theta\sin^3\theta}{\rho^9\sin^9\theta} |$ e maggiorando seni e coseni: $\le |\frac{\rho^5}{-\rho^9}|=0 \mbox{ per } \rho\rightarrow+\infty$
Va bene?
Edit: ho fatto un bump nella speranza di ricevere una risposta.
Chiedo scusa se il titolo della discussione è ambiguo, ma il motivo sta nel fatto che si tratta di un argomento seguito a lezione di cui non ho trovato nessun riferimento in rete.
Chiedo a voi qualche delucidazione in merito, o anche solo qualche link con dei riferimenti.
Dopo aver definito i limiti parziali superiori e inferiori di funzioni di \(\displaystyle n \) variabili reali, a valori reali, il prof ci ha proposto le seguenti definizioni:
\(\displaystyle D^+f(x)=\left \{ p \in ...
Sia $(X,T)$ spazio topologico.
se $X$ è connesso per cammini allora è connesso.
supponiamo per assurdo che $X$ sia sconnesso, allora esistono $Y,Z in T$ non vuoti, ad intersezione nulla e tali che $YcupZ=X$. Poiché non vuoti possiamo prendere $y in Y$ e $z in Z$ tali che esista un arco continuo $phi:[0,1]->X$ che li colleghi. Chiaramente essendo continua, la controimmagine degli aperti di $X$ sono aperti ...
Ciao, sto risolvendo questo esercizio:
$(2*x^(1/2)ln(1+x^(1/2))-2(sin(x))(1+x)^(1/2)+x^(3/2))/(1-cos(x))$
Ho notato subito che si tratta di una forma di indeterminazione $0/0$ quindi facendo al denominatore lo sviluppo asintotico a $1/2 x^2$, ho in seguito sviluppato con taylor al numeratore.
Ho sviluppato in modo da ottenere anche il secondo grado al numeratore, però il mio risultato finale non coincide (che dovrebbe essere $-2/3$
in teoria io ho sviluppato cosi:
$(2x^(1/2)[x^(1/2)-(x/2)+(x^2/3)+o(x^2)]-2x(1+(1/2)x)+x^(3/2))/((1/2)(x^2))$
Secondo voi va bene?
Salve a tutti, avrei bisogno di chiarimenti su questi due argomenti
Quello che io ho capito è che:
-campo scalare vuol dire un campo $A$ contenuto in $RR^n$ in cui a ogni punto che gli appartiene gli si può assegnare un vettore (io intendo il vettore che va dall'origine al punto) che però ha come componenti degli scalari
-campo vettoriale come lo scalare, solo che i vettori hanno come componenti altri vettori praticamente.
Inoltre non mi è molto chiaro che so ...
Salve ragazzi, sto studiando per l'orale di analisi 2 dalla dispensa del prof;alcune diciture e definizioni mi sono un pò ostiche:
Come si leggono le parti cerchiate in rosso? e cosa rappresentano (ad esempio) X ed A della seconda e quarta definizione?
Grazie in anticipo e scusate per le sciocchezze che chiedo
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