Inf/sup di funzione in due variabili
Determinare inf/sup della funzione $f(x,y)=\frac{x+y^2}{x^2+y}$ nell'insieme $D={(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\ge 1 \ , 1/x\ley\le1}$
Si vede subito che D è illimitato in quanto (brutalmente) la x può tendere all'infinito.
Inoltre in D vale che $f(x,y)\ge 0$, per cui questo mi fa pensare che inf=0.
Calcoliamo $\lim_{x^2+y^2\rightarrow+\infty} f(x,y)$: in D vale $f(x,y)\le\frac{x+1}{x^2+1/x}=\frac{x^2+x}{x^3+1}$ e quindi in polari: $f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\le\frac{\rho^2\cos^2\theta+\rho\cos\theta}{\rho^3\cos^3\theta +1}\le\frac{\rho^2+\rho}{-\rho^3+1}$ e per $\rho\rightarrow+\infty$ vale zero, quindi per i carabinieri il limite iniziale vale zero.
Inoltre la disuguaglianza $f\ge0$ in realtà è stretta poichè in D si ha che $f\ge\frac{1+y^2}{x^2+1}\ge\frac{1}{x^2+1}>0$, dunque 0 è certamente inf e non minimo.
Ora mi verrebbe da dire che il massimo è 1, e per fare questo dovrei dimostrare che $f\le1$, tuttavia vale:
$f\le\frac{x+1}{x^2+y}\le\frac{x^2+x}{x^3+1} \Rightarrow \mbox{sup} f(x,y)\le \mbox{sup} \frac{x^2+x}{x^3+1}=g(x)$
La funzione g ammette massimo per x>=1, e tale massimo è proprio 1, dunque $\mbox{sup} f(x,y)\le1$, inoltre questo è proprio il massimo in quanto ad esempio $f(1,1)=1$
Va bene come ragionamento?
Si vede subito che D è illimitato in quanto (brutalmente) la x può tendere all'infinito.
Inoltre in D vale che $f(x,y)\ge 0$, per cui questo mi fa pensare che inf=0.
Calcoliamo $\lim_{x^2+y^2\rightarrow+\infty} f(x,y)$: in D vale $f(x,y)\le\frac{x+1}{x^2+1/x}=\frac{x^2+x}{x^3+1}$ e quindi in polari: $f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\le\frac{\rho^2\cos^2\theta+\rho\cos\theta}{\rho^3\cos^3\theta +1}\le\frac{\rho^2+\rho}{-\rho^3+1}$ e per $\rho\rightarrow+\infty$ vale zero, quindi per i carabinieri il limite iniziale vale zero.
Inoltre la disuguaglianza $f\ge0$ in realtà è stretta poichè in D si ha che $f\ge\frac{1+y^2}{x^2+1}\ge\frac{1}{x^2+1}>0$, dunque 0 è certamente inf e non minimo.
Ora mi verrebbe da dire che il massimo è 1, e per fare questo dovrei dimostrare che $f\le1$, tuttavia vale:
$f\le\frac{x+1}{x^2+y}\le\frac{x^2+x}{x^3+1} \Rightarrow \mbox{sup} f(x,y)\le \mbox{sup} \frac{x^2+x}{x^3+1}=g(x)$
La funzione g ammette massimo per x>=1, e tale massimo è proprio 1, dunque $\mbox{sup} f(x,y)\le1$, inoltre questo è proprio il massimo in quanto ad esempio $f(1,1)=1$
Va bene come ragionamento?
Risposte
"Lebesgue":
..., inoltre questo è proprio il massimo in quanto ad esempio $f(1,1)=1$
Va bene come ragionamento?
Non saprei, io l'ho trovato convincente
a cosa serve ad esempio?
"gio73":
a cosa serve ad esempio?
Era per dire che non 1 non è il sup, cioè è un massimo perchè esiste almeno un punto in D che lo realizza ( poi in realtà sono infiniti, ovvero tutti quelli della bisettrice). Insomma la disuguaglianza $\mbox{sup}f\le\mbox{sup}g$ non è stretta poichè vi sono dei punti che realizzano l'ugualglianza, non so se mi sono ben spiegato.
Così come 0 è inf e non minimo perchè non vi è nessun punto in D tale che $f(x_0,y_0)=0$
"Lebesgue":
poi in realtà sono infiniti, ovvero tutti quelli della bisettrice
ma solo $(1;1)in D$
gli altri punti della bisettrice di I e III quadrante $!inD$
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