Dubbio prodotto scalare matrici
Come da titolo mi è sorto un dubbio relativo al prodotto scalare tra matrici. Ma esiste? Se sì, come si calcola? Non avendo trovato nulla a riguardo, mi rivolgo a voi.
Risposte
$(a_(ij))_(i,j=1,...,n)* (b_(ij))_(i,j=1,...,n)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)a_(ij)b_(ij)$
$((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))*((b_(11),b_(12)),(b_(21),b_(22)))=a_(11)b_(11)+a_(12)b_(12)+a_(21)b_(21)+a_(22)b_(22)$
$((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))*((b_(11),b_(12)),(b_(21),b_(22)))=a_(11)b_(11)+a_(12)b_(12)+a_(21)b_(21)+a_(22)b_(22)$
Ma quindi le due matrici vengono pensate come 1 vettore avente 4 componenti?
Le matrici sono vettori.. puoi pensarle come vuoi, ogni spazio di dimensione finita, supponiamo $dimV=k$ è isomorfo a $RR^k$ quindi tutti questi spazi vettoriali puoi pensarli come se fossero $RR^k$
In genere $M_(n,m)(K) cong RR^(n*m)$ non a caso come notazione dello spazio delle matrici viene usata anche $K^(n,m)$
Per ‘isomorfi’ intendo che tra due spazi $V,W$ esista una biunivocità lineare $L:V->W$ quindi praticamente due strutture isomorfe sono la stessa cosa a livello algebrico, come se cambiasse solo il modo di scriverle(cosa che di fatto è vera)
In genere $M_(n,m)(K) cong RR^(n*m)$ non a caso come notazione dello spazio delle matrici viene usata anche $K^(n,m)$
Per ‘isomorfi’ intendo che tra due spazi $V,W$ esista una biunivocità lineare $L:V->W$ quindi praticamente due strutture isomorfe sono la stessa cosa a livello algebrico, come se cambiasse solo il modo di scriverle(cosa che di fatto è vera)
Perfetto,grazie per la risposta.
"killing_buddha":
Si chiama prodotto di Hadamard https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_product_(matrices)
No, il prodotto di Hadamard è un prodotto interno ad \(\mathbb{M}_{m \times n}(\mathbb{K})\), non un prodotto scalare.
"gugo82":
[quote="killing_buddha"]Si chiama prodotto di Hadamard https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_product_(matrices)
No, il prodotto di Hadamard è un prodotto interno ad \(\mathbb{M}_{m \times n}(\mathbb{K})\), non un prodotto scalare.[/quote]
Uh, vero. Beh, è il prodotto di Hadamard che hai guardato come applicazione bilineare e che hai valutato nel vettore fatto di uno contro sé stesso.
La descrizione più brutta del secolo!
ma in genere il prodotto di Hadamard non mi sembra altro che, fissata una base $B={e_1,...,e_n}$ di uno spazio $V$ finito dimensionale si associ
a $v=sum_(k=1)^(n)x_ke_k$ e $w=sum_(k=1)^(n)y_ke_k$ il vettore $v*w=sum_(k=1)^(n)(x_k*y_k)e_k$
a $v=sum_(k=1)^(n)x_ke_k$ e $w=sum_(k=1)^(n)y_ke_k$ il vettore $v*w=sum_(k=1)^(n)(x_k*y_k)e_k$
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