Funzione sommabile al variare del parametro

[melli13]

Per quali $alpha in RR$ la seguente funzione è in $L^1(RR^2)$:
$f_alpha(x, y) = (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha) $

Ho difficoltà con questo tipo di esercizio. Allora io lo risolverei così, ma non credo sia giusto:
$f_alpha in L^1(RR^2) <=> |f_alpha| in L^1(RR^2)$
Per il teorema di Tonelli:
$\int int_{RR^2} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha) dxdy = \int_{-oo}^{+oo}(int_{-oo}^{+oo} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy $
$= \int_{0}^{beta}(int_{0}^{beta} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy + \int_{beta}^{+oo}(int_{beta}^{+oo} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy + \int_{-oo}^{-beta}(int_{-oo}^{-beta} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy + \int_{-beta}^{0}(int_{-beta}^{0} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy$

Adesso posso lavorare sui singoli pezzi:
$|f_alpha(x,y)|$ $~_(0,0)= 1/(x^2+y^2)^(alpha-1)$
$\int_{0}^{beta}(int_{0}^{beta} (sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy=\int_{0}^{beta}(int_{0}^{beta} (1/(x^2+y^2)^(alpha-1)dx) dy$
$int_{0}^{beta} 1/(x^2+y^2)^(alpha-1)dx$ converge se $alpha<2$ e così quindi anche quando poi lo integro rispetto ad y

$|f_alpha(x,y)|$$~_(+oo)$
$\int_{beta}^{+oo}(int_{beta}^{+oo} |(sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(alpha)|dx) dy <= \int_{beta}^{+oo}(int_{beta}^{+oo} 1/(x^2+y^2)^(alpha)dx) dy$
$int_{beta}^{+oo} 1/(x^2+y^2)^(alpha)dx$ converge per $alpha>1$ e così anche quando poi lo integro rispetto ad y.
Faccio gli altri due casi analoghi e mi vengono sempre le stesse condizioni, quindi:
$f_alpha(x, y)$ converge $<=> 1

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Risposte

billyballo2123

24 feb 2018, 14:57

Ehm... a me sembra che l'esercizio chiami a gran voce le coordinate polari...!!!
effettuando il cambio otterresti
\[
\int_{\mathbb{R}^2}\frac{\sin(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{\alpha}}dxdy=\int_0^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin \rho^2}{\rho^{2\alpha}}\rho d\rho d\vartheta=2\pi\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin \rho^2}{\rho^{2\alpha-1}}d\rho.
\]

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melli13

24 feb 2018, 15:51

Scusami, ma in questo caso applichiamo il teorema di Fubini, ma noi non sappiamo se la funzione è in $L^1$, no?

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Ernesto011

24 feb 2018, 16:11

Non ha senso quello spezzettamente che hai fatto.
Hai ridotto l'integrale da $RR^2$ in un integrale su $4$ aree la cui unione sicuramente non è $RR^2$ (prova a disegnarle, se non ne sei convinto)

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dissonance

26 feb 2018, 14:30

"melli13":Scusami, ma in questo caso applichiamo il teorema di Fubini, ma noi non sappiamo se la funzione è in $L^1$, no?

Il cambio di variabile di billiballo non richiede Fubini, non stai integrando una variabile alla volta. In ogni caso se il fatto di non sapere a priori se \(f\in L^1\) ti turba, ragiona prima su \(|f|\). Quest'ultima funzione è nonnegativa e quindi puoi manipolare gli integrali a tuo piacimento usando il teorema di Tonelli.

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melli13

7 mag 2018, 10:01

@dissonance Scusami sto leggendo solo adesso! Grazie mille!! Poi me ne ero convinta

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[billyballo2123]

Ehm... a me sembra che l'esercizio chiami a gran voce le coordinate polari...!!!
effettuando il cambio otterresti
\[
\int_{\mathbb{R}^2}\frac{\sin(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{\alpha}}dxdy=\int_0^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin \rho^2}{\rho^{2\alpha}}\rho d\rho d\vartheta=2\pi\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin \rho^2}{\rho^{2\alpha-1}}d\rho.
\]

[melli13]

Scusami, ma in questo caso applichiamo il teorema di Fubini, ma noi non sappiamo se la funzione è in $L^1$, no?

[Ernesto011]

Non ha senso quello spezzettamente che hai fatto.
Hai ridotto l'integrale da $RR^2$ in un integrale su $4$ aree la cui unione sicuramente non è $RR^2$ (prova a disegnarle, se non ne sei convinto)

[dissonance]

"melli13":Scusami, ma in questo caso applichiamo il teorema di Fubini, ma noi non sappiamo se la funzione è in $L^1$, no?

Il cambio di variabile di billiballo non richiede Fubini, non stai integrando una variabile alla volta. In ogni caso se il fatto di non sapere a priori se \(f\in L^1\) ti turba, ragiona prima su \(|f|\). Quest'ultima funzione è nonnegativa e quindi puoi manipolare gli integrali a tuo piacimento usando il teorema di Tonelli.

[melli13]

@dissonance Scusami sto leggendo solo adesso! Grazie mille!! Poi me ne ero convinta