Limite all'infinito in 2 variabili

[Lebesgue]

Ho problemi nel calcolare il $\lim_{x^2+y^2\rightarrow +\infty} \frac{x^2y^3}{3+2x^4+|y|^9}$, credo valga zero ma non so come dimostrarlo

Ho provato a fare in questo modo: $0 \le |\frac{x^2y^3}{3 + 2x^4 + |y|^9}|$ tuttavia vale $|y|\gey$ dunque posso maggiorarlo:
$0 \le |\frac{x^2y^3}{3 + 2x^4 + |y|^9}|\le |\frac{x^2y^3}{1+y^9}| $ poi passando in polari ottengo: $0\le |\frac{\rho^5\cos^2\theta\sin^3\theta}{\rho^9\sin^9\theta} |$ e maggiorando seni e coseni: $\le |\frac{\rho^5}{-\rho^9}|=0 \mbox{ per } \rho\rightarrow+\infty$
Va bene?

Edit: ho fatto un bump nella speranza di ricevere una risposta.

[Lebesgue]

"TeM":Bada bene che \[ 0 \le \left|\frac{x^2\,y^3}{3 + 2\,x^4 + |y|^9} - 0\right| \le \left|\frac{x^2\,y^3}{|y|^9}\right| = \frac{x^2}{y^6}\,. \] A te concludere.

Così non concludo un bel niente purtroppo . Sono abbastanza certo tale limite tenda a 0 all'infinito (per via di un punto dell'esercizio che altrimenti non avrebbe avuto senso mettere)
Ho provato a fare in questo modo: $0 \le |\frac{x^2y^3}{3 + 2x^4 + |y|^9}|$ tuttavia vale $|y|\gey$ dunque posso maggiorarlo:
$0 \le |\frac{x^2y^3}{3 + 2x^4 + |y|^9}|\le |\frac{x^2y^3}{1+y^9}| $ poi passando in polari ottengo: $0\le |\frac{\rho^5\cos^2\theta\sin^3\theta}{\rho^9\sin^9\theta} |$ e maggiorando seni e coseni: $\le |\frac{\rho^5}{-\rho^9}|=0 \mbox{ per } \rho\rightarrow+\infty$

Dici così non va bene?

[dissonance]

Il limite *vale* zero, la funzione *tende* a zero.

viewtopic.php?p=8348310#p8348310

può sembrare una pignoleria, ma invece è una questione molto importante di linguaggio.

@TeM: Non capisco, la disuguaglianza che hai proposto non permette di concludere molto, perché il limite
\[
\lim_{(x, y)\to 0} \frac{x^2}{y^6}
\]
non esiste.

[Lebesgue]

"dissonance":Il limite *vale* zero, la funzione *tende* a zero.

non esiste.

Su questa cosa dovete mettervi d'accordo perchè più volte mi è capitato di sentir dire "il limite tende" e "il limite vale", la prossima volta dico "il limite *cipolla* zero" così non sbaglio
Ps. il limite NON è per $(x,y)\rightarrow(0,0)$ ma per $x^2+y^2\rightarrow+\infty$

[Studente Anonimo]

@ dissonance

Si spera che "repetita iuvant".

[Lebesgue]

"TeM":Dato che \[ 0 \le \left|\frac{x^2\,y^3}{3 + 2\,x^4 + |y|^9} - 0\right| \le \left|\frac{x^2\,y^3}{|y|^9}\right| = \frac{x^2}{y^6} = \frac{(\rho\,\cos\theta)^2}{(\rho\,\sin\theta)^6} = \frac{\cos^2\theta}{\rho^4\,\sin^6\theta} \to 0 \] essendo \(x^2+y^2 \to \infty\), ossia \(\rho^2 \to \infty\), per il teorema del confronto il limite in oggetto esiste ed è pari a zero.

ERRORACCIO!!! In questo modo fissi theta, mentre potrebbe benissimo essere che $\sin^6\theta=0$ e quindi avrei un caso di 0*infinito che ricordiamo essere forma indeterminata! Fissare theta vuol dire fare il limite solo sulle rette, cosa che NON si fa in più variabili in quanto potrebbe esserci qualche altra curva (parabola, esponenziale) che fa qualcosa di "diverso".
Inoltre si vede subito che $lim_{x^2+y^2\rightarrow+\infty} \frac{x^2}{y^6}$ NON ESISTE!
Posto $g(x,y)=\frac{x^2}{y^6}$ si vede immediatamente che $g(t,1)\rightarrow+\infty$ per $t\rightarrow\pm\infty$ mentre $g(0,t)=0$ dunque il limite non esiste

[dissonance]

Uuh che fesso avevo letto \((x, y)\to 0\).

Quanto alle cipolle, si dice "il limite *vale* tot" e "la funzione *tende a* tot", ascoltami a me (e a Sergeant Elias).

[Lebesgue]

"dissonance":
Quanto alle cipolle, si dice "il limite *vale* tot" e "la funzione *tende a* tot", ascoltami a me (e a Sergeant Elias).

Ma vuoi mettere "il limite cipolla a tot" e "il limite vale tot"? Molto meglio la prima!
Comunque ancora non ho risposta al fatto se il mio ragionamento su quel limite possa essere giusto o meno

[dissonance]

È corretto. Potevi anche passare in coordinate polari fin da subito.