Analisi matematica di base

Mi trovo dinanzi a due affermazioni del libro che non comprendo pur avendo studiato gli o-piccoli $(x-x^3/6+o(x^3))^2=x^2+o(x^3)$ Non riesco proprio a capire perché ci sia un o-piccolo di x^3, infatti sviluppando il quadrato mi troverei con doppi prodotti che per l'algebra degli o-piccolo dovrebbero essere al minimo un x^4 infatti avrei come caso minimo: $2x*o(x^3)=o(2x^4)=o(x^4)$ Altra affermazione è: $o((x+x^2/2+o(x^2))^2)=o(x^2)$ Non riesco proprio a comprendere queste due affermazioni,come ha fatto? grazie

Sto affrontando lo studio delle equazioni differenziali parte del corso di analisi 1, sto trovando difficoltà a capire graficamente le soluzioni di una equazione differenziale a variabili separabili. In particolare non capisco le soluzioni stazionarie, mi sembra che tali funzioni non vengano intersecate da altre soluzioni dell'integrale generale. Ma perché? Non è sviluppata benissimo questa spiegazione e mi trovo con molti dubbi... Spero mi aiutiate a fare chiarezza

Salve ragazzi, vi devo chiedere un favore. Il nostro professore di analisi e meccanica razionale ha lasciato un esercizio nell'esame, mai spiegato, in cui chiede il calcolo del lavoro di una forza nelle variabili x,y,z lungo una linea γ nella variabile t compresa tra 0 e 2π. $ vec(F)=sqrtz *hat(i)+x*hat(j)+y*hat(k) $ Equazione della linea γ: $ hat(r)(t)=(t-sin(t) *hat(i))+(1-cos(t))*hat(j)+t^2*hat(k) $ con $ 0<=t<=2*pi $ Se poteste risolvermi questo problema ve ne sarei molto grato, ho cercato se vi erano post simili nel forum, ma invano. Grazie in ...

Seguendo le slide ho che : -devo provare che $ lim_(n->+oo ) E_n(x)= lim_(n ->+oo ) e^(c_n)x^(n+1)/((n+1)!)=0 AAx in I $ dove $I$ è l'intervallo di convergenza della Serie $c_n$ è un punto dell'intervallo $[x,x_0]$ con $x_0$ "Centro della Serie". - ora io so che: \( e^{c_n} \leq \begin{cases} 1 &\text{, se } x0\end{cases} \) Quindi posso maggiorare $ e^(c_n)$ una volta con $1$ ed una volta con $e^x$ ottenendo che : ...

Salve, la definizione di differenziale comune sui testi come è noto è la seguente $df=f'\Deltax$ domanda: 1) a sinistra abbiamo una quantità infinitesima a destra finita!!! poi si dice che applicando ad esempio la definizione alla particolare funzione $y=x$ si scopre che $\Deltax=dx$ cioè una quantià finita è uguale ad una finita? 2) poi si estende questo risultato ottenuto da un "caso particolare" al caso generale e si pone $df=f' dx$ , ma come si fa a ...

Svolgendo questo integrale improprio in vari metodi noto che in uno dei vari procedimenti arrivo a un risultato errato, ma non capisco il motivo e quale sia il passaggio non consentito. Scrivo l'esercizio a seguire: $\int_(log2)^(+∞) e^x/(e^(2x)+6e^x+5)dx$ a- Procededo con un confronto di infiniti si giunge facilmente a $\int_(log2)^(+∞) e^(-x)$ che è convergente. b- E' convergente anche risolvendo per definizione tale integrale. c- In qesto terzo metodo ho proceduto usando una sostituzione e poi i fratti semplici e l'ho ...

Mi piacerebbe riuscire a fugare questo dubbio, spero di non ledere alcuna linea guida aprendo una seconda discussione senza aver ancora ricevuto risposta alla prima (seppur richieste diverse). Il mio dubbio è questo:ma se io sviluppassi $x arctan( x ) = x^2 + o(x^2)$ cioè arrestandomi al primo termine, in teoria dovrebbe andare bene perché non si annulla da nessuna parte. Inoltre non si è costretti a sviluppare tutte le funzioni allo stesso ordine. Però proseguendo così ...

Salve a tutti , ho difficoltà con questo esercizio: La serie $ sum_(n = \1)^(n=+oo)(n*e^-(xn)+n^(1/3))/(n^2+|1-x|) $ converge se e solo se : [1] x < 0 [2] 0 < x < 1 [3] x ≥ 0 [4] x > 0 Non riesco bene a capire come devo fare per risolverlo , dovrei fare un limite della successione che tende a +inf e per esempio al numeratore considerare solo n*e^(-xn), giusto? Qualcuno potrebbe spiegarmi come fare in questa situazione?

Buongiorno, ho un dubbio su un esercizio svolto riguardo lo studio di una funzione per casi. La funzione incriminata è la seguente $(x+1)^(1/3) if x<=2$ $|log(x-2)| if x>2$ Nello studio della derivabilità scrive: "Osserviamo anche che, per la continuità di f in R \{ 2 } e l’esistenza di f ′ in R \{− 1 , 2 , 3 } , il limite del rapporto incrementale in x_1 = − 1 e x_2 = 3 può essere ottenuto come limite di f ′ ( x ) nei punti corrispondenti." Il problema è che nella teoria ho studiato che "se ...

$int int_D (x+y)^2 / ((x+y)+1) dx dy$ $D={(x,y) \in RR^2 : |x|+|y|<=2}$ Guardando l'integranda sembra ovvio trasformare le coordinate $(x,y)$ in $(u,v)$ con $u$ o $v$ uguale a $x+y$ (nel ragionamento seguente assumo $u=x+y$), e a giudicare dalle parentesi superflue al denominatore sembra che tale sostituzione sia esplicitamente suggerita dal professore. e come scegliere invece la coordinata $v$? guardo il dominio: si tratta del luogo dei ...

Buongiorno, Faccio un pò di confusione su i punti di non derivabilità di una funzione. Vi espongo il mio problema Sia $f(x)=sqrt(1-(x-1)^2)$ procedo nel seguente modo 1) Dominio della funzione $I=[0,2]$ 2) La funzione risulta continua nel suo dominio, in quanto composte di funzioni continue. 3) Dominio della derivabilità, risulta per il teorema della derivata della funzione composta derivabile per ogni $x in I$ tranne per nei punti $x_0=0$ $x_1=2$. Per ...

Mi accorgo di non riuscire a risolvere una tipologia di limiti: ES: $lim x->0 e^(a/x)/x$ Con il confronto di infinitesimi non è possibile portarlo a termine, nemmeno con de l'Hopital. Non capisco bene come si facciano. PS: sia a>0 e poi a

Salve ragazzi ho un problema con questo esercizio. $ f(x)=(x^3/(x+1))^(1/2) $ dire, motivando la risposta, quanti sono gli zeri della funzione: $ g(x)=(f(x)-1)^5 $ dove f(x) è la funzione precedentemente studiata. RISPOSTA: gli zeri della funzione g(x) (ricordare il grafico elementare della funzione t $ rarr $ $ t^5 $ ) coincidono con gli zeri della funzione h(x)=f(x)-1 che si ottiene da quello di f(x) con una traslazione di un unità verso il basso. Pertanto la funzione h(x) per ...

Salve, avrei bisogno di un aiuto ho il seguente esercizio $z^3=1/(1+i)$ razionalizzando è facile, tuttavia mi piace cercare di risolvere in altri modo per vedere cosa non mi è chiaro e infatti qualcosa di non chiaro c'è Provavo a svolgere $z^3=root(3)(1/(1+i))$ non sono sicuro la proprietà che sto per scrivere valga anche per i complessi, correggetemi se sbaglio $root(3)(1/(1+i))=(root(3)(1))/(root (3) (1+i))$ e ho svolto le due radici separatamente a numeratore e denominatore. Il problema è che ora mi trovo con tre ...

Salve, posto esercizio su integrale doppio E relativa soluzione Ora il mio problema ė che non capisco tra il primo e il secondo passaggio cosa fa per arrivare a risolvere l' integrale più interno. Qualcuno sarebbe così gentile da chiarirmelo? Grazie

Buonasera, sto studiando l'integrazione per sostituzione. Vi posto l'esercizio in cui non mi trovo $int (sqrt(x^2-1))/(x)dx$ il risultato dell'integrale è $R=(sqrt(x^2-1)+tan^-1(1/sqrt(x^2-1))+c)$ Procedo nel seguente modo $t=sqrt(x^2-1) to x= pm sqrt(t^2+1)$ $(x)/(sqrt(x^2-1))dx=dt to dx=((t)/(sqrt(t^2+1)))$ (quì presumo che ci sia l'errore perchè non valuto il valore che può assumere $x$ negativo o positivo. Componendo l'integrale ottengo $int (t^2)/(t^2+1)dt=int 1 dt-int 1/(t^2+1)dt=t-tan^-1(t)+c$. Per cui sostituisco il valore di $t$ nel risultato dell'integrale cercato ed ...

Calcolare l'integrale di prima specie \(\displaystyle \int_\gamma (x+y)z ds \) dove \(\displaystyle \gamma ={ x^2+y^2=2z , x^2 +y^2 +z^2 =3} \) So che \(\displaystyle \int_\gamma f ds = \int f(\gamma (t))\gamma '(t) dt \) dove il secondo è un integrale definito e so che la curva nel mio caso è una parabola. Il mio problema è che non riesco a parametrizzarla. Non è giusto \(\displaystyle \gamma (t)= (t, t^2 +2t -3 , t) \). Grazie!

Salve, sto avendo un po' di problemi con questo esercizio: avendo $iz^2=|z|$ le soluzioni sono.. e la risposta esatta è $"tre punti"$ ma dopo averlo svolto mi escono 5 punti. Ottenendo $x=y$ con $y=+-1/sqrt(2)$ ed $x=-y$ con $y=+-1/sqrt(2)$ ed $x=y$ con $y=0$ . Penso di star sbagliando con le proprietà dei radicali. Mi potreste aiutare ?

Ciao, ho bisogno di un aiuto con questi due limiti: $lim_{x to 0+}frac{x(1+2x)^(1/(x^2))+sin^(2)x - 5}{2xe^(2/x)+e^x +4}$ $lim_{x to +\infty}[2/(\pi)x^(2)((\pi)/2-arctan(1/x))+\sqrt{x^4+4/(\pi) x^3}-\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 +1}]$ ho bisogno di sapere che metodo devo applicare per svolgerli...i miei tentativi a svolgerli sono andati malissimo che sarà più veloce rifarli da capo

Salve a tutti, sto preparando l'esame di complementi di analisi e sono incappato in un problema dal quale non riesco ad uscire. L'esercizio è il seguente: Si chiede di studiare al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \) il carattere della seguente serie: \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln\frac{n^{\alpha^2}}{n^{\alpha^2}-1}}{{(1-\cos\frac{1}{n})}^{{2}{\alpha}+3}}\) Credo innanzitutto che l'indice di partenza sia errato, in quanto il denominatore del logaritmo non è definito ...