Calcolo integrale doppio

[vincenzo.delconte]

Salve, posto esercizio su integrale doppio




E relativa soluzione





Ora il mio problema ė che non capisco tra il primo e il secondo passaggio cosa fa per arrivare a risolvere l' integrale più interno.
Qualcuno sarebbe così gentile da chiarirmelo?
Grazie

[21zuclo]

Sta integrando prima in $dy$ quindi nella variabile $y$

prova a svolgere da solo l'integrale indefinito $ \int (a)/(a^2+y^2)dy $

[vincenzo.delconte]

E proprio quello che non riesco a svolgere...

Raccolgo la x al quadrato al denominatore e la tratto come costante...
A questo punto dovrei portarla fuori, ma non capisco che fine faccia...

Il resto l ho capito...

[pilloeffe]

Ciao enzolo89,

"enzolo89":E proprio quello che non riesco a svolgere...

Non mi sembra particolarmente complicato:

$\int (x)/(x^2+y^2)dy = 1/x \int 1/(1+(y/x)^2)dy $

Posto $t := y/x \implies dt = (dy)/x \implies dy = x dt $, si ha:

$\int (x)/(x^2+y^2) dy = 1/x \int 1/(1+(y/x)^2) dy = \int (dt)/(1+ t^2) = arctan(t) + c = arctan(y/x) + c $

Perciò si ha:

$\int_{x^2/2}^{x^2} (x)/(x^2+y^2) dy = [arctan(y/x)]_{x^2/2}^{x^2} = arctan(x) - arctan(x/2) $

[vincenzo.delconte]

Infatti non lo era...

Grazie mille...

[21zuclo]

Si potrebbe generalizzare

Quando hai un integrale di questo tipo $ \int (a)/(a^2+x^2)dx= \arctan(x/a)+C $

Dimostrazione del risultato

$ \int (a)/(a^2+x^2)dx= \int (a)/(a^2(1+(x/a)^2))dx=1/a \int (1)/(1+(x/a)^2)dx $
$ u=x/a\to du=1/a dx\to dx=adu $
Quindi si ha $ 1/a \int (a du)/(1+u^2)=\int (1)/(1+u^2)du =\arctan(u)+C $
quindi tornando alla variabile originaria si ha che $ \int (a)/(a^2+x^2)dx= \arctan(x/a)+C $

quando hai $ \int (1)/(a^2+x^2)dx=1/a \arctan(x/a)+C $

esercizio, prova a calcolare $ \int (1)/(7+x^2)dx $

segnati queste 2 formule