Aiuto con una serie con parametro.

[Draven98]

Salve a tutti , ho difficoltà con questo esercizio:
La serie
$ sum_(n = \1)^(n=+oo)(n*e^-(xn)+n^(1/3))/(n^2+|1-x|) $
converge se e solo se :
[1] x < 0
[2] 0 < x < 1
[3] x ≥ 0
[4] x > 0

Non riesco bene a capire come devo fare per risolverlo ,
dovrei fare un limite della successione che tende a +inf
e per esempio al numeratore considerare solo n*e^(-xn), giusto?
Qualcuno potrebbe spiegarmi come fare in questa situazione?

[pilloeffe]

Ciao lucadibbo,

Se la domanda è a quattro possibili risposte così come l'hai scritta ragionerei per esclusione.
La serie proposta è la seguente:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(n e^{-xn} + n^(1/3))/(n^2+|1-x|) $

[1] $ x < 0 $ - Questa è da escludere subito perché in tal caso $ e^{-xn} $ tenderebbe all'infinito per $n \to +\infty $ e quindi non sarebbe soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy;
[3] $ x \ge 0 $ - Questa differisce dalla [4] solo per l'uguale a $0 $ quindi basta osservare cosa accade per $x = 0 $. Per tale valore di $x $ la serie proposta si comporta come la serie armonica, notoriamente divergente. Pertanto la risposta [3] è da escludere;
[2] $ 0 < x < 1 $ - Per escludere questa risposta basta osservare che per $x = 1 $ la serie proposta converge perché si comporta come la serie armonica generalizzata

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^{\alpha}) $

con $ \alpha = 2 - 1/3 = 5/3 > 1 $ e pertanto convergente;
[4] $x > 0 $ - Per esclusione ne consegue che questa è l'unica risposta corretta.