Convergenza di una successione integrale
Buonasera, avrei un piccolo dubbio nello studio della convergenza, puntuale ed uniforme, della seguente successione di funzioni:
$fn(x)=int_(0)^(pin) e^(xt)sen(t) dt $
Ora, per poter studiare la convergenza puntuale, ho bisogno di risolvere l'integrale generale, che per parti risulta:
$(e^(xt)(xsen(t)-cos(t)))/(x^2+1)$; calcolato da $0$ a $pin$, ottengo:
$(e^(xpin)(xsen(pin)-cos(pin)))/(x^2+1)-(e^(0)(xsen(0)-cos(0)))/(x^2+1)$
il tutto mi si riduce a ora studiare :
$lim_(n -> oo) (-(-1)^n*e^(pinx))/(x^2+1) +1/(x^2+1)$, poiché $sen(pin)=0, cos(pin)=(-1)^n, AA n in N $
Il quale limite mi risulta essere $lim_(n -> oo) fn(x) = +-oo$ in dipendenza se n sia pari o dispari, implicando la divergenza sia puntuale che uniforme (?) in $R$. Tuttavia il testo mi chiede di trovare un intervallo nel quale tale successione converga, e qua sono in alto mare. Che posso fare?
(?) $|fn(x)-f(x)| +oo
No, non è che se non ammette massimo non c'è convergenza uniforme. C'è convergenza uniforme se
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| =0 \]
Tu hai giustamente guardato il comportamento di \( |f_n(x)-f(x)| \) per \( x \in A \) e puoi quindi concludere che
Per $ x \ge 0 $ il limite non esiste dunque non hai convergenza puntuale.
Dunque hai convergenza puntuale in $ A = (-\infty,0) $.
\[ \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \sup_{ x \in A} \frac{e^{\pi nx}}{1+x^2} =f_n(0)= 1 \]
Tuttavia
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to + \infty} 1 =1 \ne 0 \]
e quindi non hai convergenza uniforme in $ A $.
Tuttavia se consideri insiemi del tipo $ A_a := (-\infty, a) $ per $ a<0 $ hai che
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to + \infty} \frac{ e^{ \pi n a}}{1+a^2} =0 \]
e quindi hai convergenza uniforme in $ A_a $ per ogni $ a<0 $.
[/quote]
Ma infatti quando ho scritto che non converge uniformemente, era riferito all'intervallo $(-\infty,0)$ (forse non ho scritto chiaramente, perdonami); ho considerato poi proprio un insieme di convergenza del tipo $(-\infty, a]$ per $a<0$, in cui converge certamente perché essendo la funzione monotona crescente, in $a$ si avrà di certo il massimo e quindi il limite della successione sarà nullo per gerarchia degli infiniti. Ora però vedo che non hai incluso nell'intervallo il parametro $a$: essendo già minore di 0 per definizione, non potrei includerlo?
Per gli errori, sì hai ragione, ho completamente sbagliato
.
Va bene, grazie di aver chiarito i miei dubbi.
$fn(x)=int_(0)^(pin) e^(xt)sen(t) dt $
Ora, per poter studiare la convergenza puntuale, ho bisogno di risolvere l'integrale generale, che per parti risulta:
$(e^(xt)(xsen(t)-cos(t)))/(x^2+1)$; calcolato da $0$ a $pin$, ottengo:
$(e^(xpin)(xsen(pin)-cos(pin)))/(x^2+1)-(e^(0)(xsen(0)-cos(0)))/(x^2+1)$
il tutto mi si riduce a ora studiare :
$lim_(n -> oo) (-(-1)^n*e^(pinx))/(x^2+1) +1/(x^2+1)$, poiché $sen(pin)=0, cos(pin)=(-1)^n, AA n in N $
Il quale limite mi risulta essere $lim_(n -> oo) fn(x) = +-oo$ in dipendenza se n sia pari o dispari, implicando la divergenza sia puntuale che uniforme (?) in $R$. Tuttavia il testo mi chiede di trovare un intervallo nel quale tale successione converga, e qua sono in alto mare. Che posso fare?
(?) $|fn(x)-f(x)|
Risposte
Ma se $x<0$?
In effetti non ho considerato $x<0$ e $x=0$, che scemo.
Ottengo in sostanza: ${ ( +-oo , x>0),( 1/(x^2+1),x<0),( -(-1)^n+1, x=0):}$ e quindi la successione convergerebbe puntualmente in $phi=(-oo,0]$ .
Per $x<0$ deve essere che $lim_(n->oo) "sup" abs(fn(x)-f(x))->0$, il che mi risulta:
$"sup"abs((−(−1)^n⋅e^(πnx)+1)/(x^2+1)-1/(x^2+1))$, che diventa $"sup"[(e^(πnx))/(x^2+1)]$. Considerando la derivata di quest'ultima, ovvero $e^(πnx)[pin(x^2+1)-2x]/(x^2+1)^2$, scopro che è una funzione monotona crescente per gli x<0, quindi non ha max in $(-oo,0)$ e dunque non converge uniformemente. Converge uniformemente però in $(-oo,a], a<0$ .
Per $x=0$ ottengo $abs((−(−1)^n⋅e^(πn*0)+1)/(0^2+1)-[-(-1)^n+1])
Ottengo in sostanza: ${ ( +-oo , x>0),( 1/(x^2+1),x<0),( -(-1)^n+1, x=0):}$ e quindi la successione convergerebbe puntualmente in $phi=(-oo,0]$ .
Per $x<0$ deve essere che $lim_(n->oo) "sup" abs(fn(x)-f(x))->0$, il che mi risulta:
$"sup"abs((−(−1)^n⋅e^(πnx)+1)/(x^2+1)-1/(x^2+1))$, che diventa $"sup"[(e^(πnx))/(x^2+1)]$. Considerando la derivata di quest'ultima, ovvero $e^(πnx)[pin(x^2+1)-2x]/(x^2+1)^2$, scopro che è una funzione monotona crescente per gli x<0, quindi non ha max in $(-oo,0)$ e dunque non converge uniformemente. Converge uniformemente però in $(-oo,a], a<0$ .
Per $x=0$ ottengo $abs((−(−1)^n⋅e^(πn*0)+1)/(0^2+1)-[-(-1)^n+1])
Ciao, secondo me c'è un po' di confusione..
Hai che
\[ \lim_{ n \to + \infty} f_n(x) = \frac{1}{1+x^2} \equiv f(x) \quad \quad x \in (-\infty,0) \]
Per $x \ge 0$ il limite non esiste dunque non hai convergenza puntuale.
Dunque hai convergenza puntuale in $A = (-\infty,0)$.
Poi
No, non è che se non ammette massimo non c'è convergenza uniforme. C'è convergenza uniforme se
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| =0 \]
Tu hai giustamente guardato il comportamento di \( |f_n(x)-f(x)| \) per \( x \in A\) e puoi quindi concludere che
\[ \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \sup_{ x \in A} \frac{e^{\pi nx}}{1+x^2} =f_n(0)= 1 \]
Tuttavia
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to + \infty} 1 =1 \ne 0 \]
e quindi non hai convergenza uniforme in $A$.
Tuttavia se consideri insiemi del tipo $A_a := (-\infty, a)$ per $a<0$ hai che
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to + \infty} \frac{ e^{ \pi n a}}{1+a^2} =0 \]
e quindi hai convergenza uniforme in $A_a$ per ogni $a<0$.
Questo è un errore (anzi due) molto grave (i):
1. Parlare di convergenza uniforme in un punto è assurdo. Guardati bene la definizione.
2. Come all'inizio hai scritto che il limite della successione di funzioni in $0$ dipende da $n$ il che, ovviamente, non ha alcun senso.
Hai che
\[ \lim_{ n \to + \infty} f_n(x) = \frac{1}{1+x^2} \equiv f(x) \quad \quad x \in (-\infty,0) \]
Per $x \ge 0$ il limite non esiste dunque non hai convergenza puntuale.
Dunque hai convergenza puntuale in $A = (-\infty,0)$.
Poi
"James Fitzjames":
quindi non ha max in $ (-oo,0) $ e dunque non converge uniformemente.
No, non è che se non ammette massimo non c'è convergenza uniforme. C'è convergenza uniforme se
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| =0 \]
Tu hai giustamente guardato il comportamento di \( |f_n(x)-f(x)| \) per \( x \in A\) e puoi quindi concludere che
\[ \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \sup_{ x \in A} \frac{e^{\pi nx}}{1+x^2} =f_n(0)= 1 \]
Tuttavia
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to + \infty} 1 =1 \ne 0 \]
e quindi non hai convergenza uniforme in $A$.
Tuttavia se consideri insiemi del tipo $A_a := (-\infty, a)$ per $a<0$ hai che
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to + \infty} \frac{ e^{ \pi n a}}{1+a^2} =0 \]
e quindi hai convergenza uniforme in $A_a$ per ogni $a<0$.
"James Fitzjames":
Per $ x=0 $ ottengo $ abs((−(−1)^n⋅e^(πn*0)+1)/(0^2+1)-[-(-1)^n+1])$ che si riduce a $0 < \epsilon$, quindi converge uniformemente in 0.
Questo è un errore (anzi due) molto grave (i):
1. Parlare di convergenza uniforme in un punto è assurdo. Guardati bene la definizione.
2. Come all'inizio hai scritto che il limite della successione di funzioni in $0$ dipende da $n$ il che, ovviamente, non ha alcun senso.
"Bremen000":
Ciao, secondo me c'è un po' di confusione..
Poi
[quote="James Fitzjames"] quindi non ha max in $ (-oo,0) $ e dunque non converge uniformemente.
No, non è che se non ammette massimo non c'è convergenza uniforme. C'è convergenza uniforme se
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| =0 \]
Tu hai giustamente guardato il comportamento di \( |f_n(x)-f(x)| \) per \( x \in A \) e puoi quindi concludere che
Per $ x \ge 0 $ il limite non esiste dunque non hai convergenza puntuale.
Dunque hai convergenza puntuale in $ A = (-\infty,0) $.
\[ \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \sup_{ x \in A} \frac{e^{\pi nx}}{1+x^2} =f_n(0)= 1 \]
Tuttavia
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to + \infty} 1 =1 \ne 0 \]
e quindi non hai convergenza uniforme in $ A $.
Tuttavia se consideri insiemi del tipo $ A_a := (-\infty, a) $ per $ a<0 $ hai che
\[ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)-f(x)| = \lim_{n \to + \infty} \frac{ e^{ \pi n a}}{1+a^2} =0 \]
e quindi hai convergenza uniforme in $ A_a $ per ogni $ a<0 $.
[/quote]
Ma infatti quando ho scritto che non converge uniformemente, era riferito all'intervallo $(-\infty,0)$ (forse non ho scritto chiaramente, perdonami); ho considerato poi proprio un insieme di convergenza del tipo $(-\infty, a]$ per $a<0$, in cui converge certamente perché essendo la funzione monotona crescente, in $a$ si avrà di certo il massimo e quindi il limite della successione sarà nullo per gerarchia degli infiniti. Ora però vedo che non hai incluso nell'intervallo il parametro $a$: essendo già minore di 0 per definizione, non potrei includerlo?
Per gli errori, sì hai ragione, ho completamente sbagliato
.
Ciao, si si puoi includere $a$, non c'è problema, non cambia nulla. In ogni caso volevo sottolineare che non è l'inesistenza del massimo che ti fa concludere che non c'è convergenza uniforme, ma il fatto che il sup sia $1$ per ogni $n$!
"Bremen000":
Ciao, si si puoi includere $a$, non c'è problema, non cambia nulla. In ogni caso volevo sottolineare che non è l'inesistenza del massimo che ti fa concludere che non c'è convergenza uniforme, ma il fatto che il sup sia $1$ per ogni $n$!
Va bene, grazie di aver chiarito i miei dubbi.
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