Esercizio numeri complessi

[davide.fede1]

Salve, sto avendo un po' di problemi con questo esercizio: avendo $iz^2=|z|$ le soluzioni sono.. e la risposta esatta è $"tre punti"$ ma dopo averlo svolto mi escono 5 punti. Ottenendo $x=y$ con $y=+-1/sqrt(2)$ ed $x=-y$ con $y=+-1/sqrt(2)$ ed $x=y$ con $y=0$ . Penso di star sbagliando con le proprietà dei radicali. Mi potreste aiutare ?

[gio73]

Ciao
ho il sospetto che tu non possa avere $x=y$
va bene solo $x=-y$
sai dirmi perchè?
le 3 soluzioni dovrebbero essere l'origine $x=0$ e $y=0$ e
$z_1= +1/sqrt2-i/sqrt2$
$z_2=-1/sqrt2+i/sqrt2$

[davide.fede1]

Forse perché ponendo $x=y$ avrei $sqrt(2y^2)=-2y^2$ , impossibile poiché una radice non può essere uguale ad un numero negativo ?

[gio73]

La penso quasi come te

[davide.fede1]

Mmm, quel quasi non mi convince ma non riesco a capire cosa altro manchi. Mi illumineresti ?

[gio73]

Mettiamola così
un numero complesso $z$ può essere descritto nella forma algebrica come
$z=x+iy$ dove $x$ e $y$ sono due numeri reali
se proviamo a sotituire nella nostra equazione di partenza $x=y$
otterremo che $-2y^2$ è uguale al modulo del nostro numero complesso (e questo deve essere per forza non negativo)

[davide.fede1]

Grazie mille

[gugo82]

Invece di lavorare in forma algebrica, conviene lavorare con moduli ed argomenti.
Un numero $z$ risolve l'equazione se e solo se risulta $|i z^2 | =|z|$, ossia se $|z|^2-|z|=0$, il che importa $z=0$ oppure $|z|=1$.
Per determinare le soluzioni con modulo unitario, basta osservare che l'equazione implica $z^2=-i$, cosicché le soluzioni cercate sono le due radici quadrate di $-i$.