Coordinate polari ed estremi dell'angolo

[kmfrick]

Ciao a tutti!

Mi trovo a dover svolgere $ \int\int\int_A 2z dx dy dz $ con $ A = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2 \sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq x + 2} $.

Come prima cosa passo alle coordinate polari, $ { ( x = \rho cos \theta ),( y = \rho sin \theta ):} $ . Detta $T$ questa trasformazione, tale che $A = T(B)$, il suo determinante Jacobiano è $|\mathbf{DT}| = \rho$, dunque l'integrale diventa $\int\int\int_B 2z \rho d\rho dz d\theta $. Dalle condizioni iniziali ho che $ z \in [2 \rho, \rho cos \theta + 2]$, e dato che $2 \rho \leq \rho cos \theta + 2$ e sapendo che, essendo un raggio, $\rho \geq 0$, ho che $0 \leq \rho \leq \frac{2}{2 - cos \theta}$.

A questo punto restano a trovare gli estremi di $\theta$, e qui sono in alto mare. A me verrebbe da dire $\theta \in [0, 2 \pi]$, ma è così? Come faccio a trovare gli estremi di $\theta$ in generale?

Grazie in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao kmfrick,

Benvenuto sul forum!

Quello proposto è un integrale triplo, mentre tu sei passato in coordinate polari come se fosse un integrale doppio... Esistono un paio di "versioni" di coordinate polari nello spazio o coordinate sferiche, te le riporto qui di seguito.

Coordinate sferiche con $\varphi $ colatitudine:

$\{(x = \rho sin\varphi cos\theta),(y = \rho sin\varphi sin\theta),(z = \rho cos\varphi):} $

ove $\rho \in [0, +\infty) $, $\theta \in [0, 2\pi) $ e $\varphi \in [0, \pi] $

Coordinate sferiche con $\varphi $ latitudine:

$\{(x = \rho cos\varphi cos\theta),(y = \rho cos\varphi sin\theta),(z = \rho sin\varphi):} $

ove $\rho \in [0, +\infty) $, $\theta \in [0, 2\pi) $ e $\varphi \in [-pi/2, \pi/2] $

[kmfrick]

"pilloeffe":Ciao kmfrick,

Benvenuto sul forum!

Quello proposto è un integrale triplo, mentre tu sei passato in coordinate polari come se fosse un integrale doppio... Esistono un paio di "versioni" di coordinate polari nello spazio o coordinate sferiche, te le riporto qui di seguito.

Coordinate sferiche con $\varphi $ colatitudine:

$\{(x = \rho sin\varphi cos\theta),(y = \rho sin\varphi sin\theta),(z = \rho cos\varphi):} $

ove $\rho \in [0, +\infty) $, $\theta \in [0, 2\pi) $ e $\varphi \in [0, \pi] $

Coordinate sferiche con $\varphi $ latitudine

$\{(x = \rho cos\varphi cos\theta),(y = \rho cos\varphi sin\theta),(z = \rho sin\varphi):} $

ove $\rho \in [0, +\infty) $, $\theta \in [0, 2\pi) $ e $\varphi \in [-pi/2, \pi/2] $

OK, mi sarei dovuto spiegare meglio, ho usato le coordinate cilindriche, non quelle polari. $\{(x = \rho cos \theta), (y = \rho sin \theta), (z = z):}$

[pilloeffe]

Non vedo particolari limitazioni per $\theta $, quindi direi che $\theta \in [0, 2\pi] $
Dunque si ha:

[tex]\iiint_A 2z dx dy dz =[/tex] $ \int_0^{2\pi} \int_0^{2/(2 - cos\theta)} \int_{2\rho}^{\rho cos\theta + 2} 2z dz \rho d\rho d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{2/(2 - cos\theta)} [z^2]_{2\rho}^{\rho cos\theta + 2} \rho d\rho d\theta = $
$ = \int_0^{2\pi} \int_0^{2/(2 - cos\theta)} [(\rho cos\theta + 2)^2 - 4\rho^2] \rho d\rho d\theta = $
$ = \int_0^{2\pi} \int_0^{2/(2 - cos\theta)} [\rho^3 cos^2 \theta + 4\rho^2 cos\theta + 4\rho - 4\rho^3] d\rho d\theta = $
$ = \int_0^{2\pi} [\rho^4/4 cos^2 \theta + 4/3 \rho^3 cos\theta + 2\rho^2 - \rho^4]_0^{2/(2 - cos\theta)} d\theta = $
$ = \int_0^{2\pi} [(4 cos^2\theta) /(2 - cos\theta)^4 + (32 cos\theta)/(3(2 - cos\theta)^3) + 8/(2 - cos\theta)^2 - 16/(2 - cos\theta)^4] d\theta = $
$ = \int_0^{2\pi} \frac{12 cos^2 \theta + 32 cos\theta (2 - cos\theta) + 24(2 - cos\theta)^2 - 48}{3 (2 - cos\theta)^4} d\theta = $
$ = 1/3 \int_0^{2\pi} \frac{12 cos^2 \theta + 64 cos\theta - 32 cos^2\theta + 24(4 - 4cos\theta + cos^2\theta) - 48}{(2 - cos\theta)^4} d\theta = $
$ = 1/3 \int_0^{2\pi} \frac{4 cos^2 \theta - 32 cos\theta + 48}{(2 - cos\theta)^4} d\theta = 4/3 \int_0^{2\pi} \frac{cos^2 \theta - 8 cos\theta + 12}{(2 - cos\theta)^4} d\theta = $
$ = 4/3 \int_0^{2\pi} \frac{(2 - cos\theta)(6 - cos\theta)}{(2 - cos\theta)^4} d\theta = 4/3 \int_0^{2\pi} \frac{6 - cos\theta}{(2 - cos\theta)^3} d\theta = 4/3 \cdot \frac{16\sqrt{3}\pi}{9} = \frac{64\sqrt{3}\pi}{27} $

Infatti si può dimostrare che si ha $ \int_0^{2\pi} \frac{6 - cos\theta}{(2 - cos\theta)^3} d\theta = \frac{16\sqrt{3}\pi}{9} $,
ma non è banale, per cui sceglierei un'altra strada...

[kmfrick]

"pilloeffe":Non vedo particolari limitazioni per $\theta $, quindi direi che $\theta \in [0, 2\pi] $
Dunque si ha:

[tex]\iiint_A 2z dx dy dz =[/tex] $ \int_0^{2\pi} \int_0^{2/(2 - cos\theta)} \int_{2\rho}^{\rho cos\theta + 2} 2z dz \rho d\rho d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{2/(2 - cos\theta)} [z^2]_{2\rho}^{\rho cos\theta + 2} \rho d\rho d\theta = $
$ = \int_0^{2\pi} \int_0^{2/(2 - cos\theta)} [(\rho cos\theta + 2)^2 - 4\rho^2] \rho d\rho d\theta = $
$ = \int_0^{2\pi} \int_0^{2/(2 - cos\theta)} [\rho^3 cos^2 \theta + 4\rho^2 cos\theta + 4\rho - 4\rho^3] d\rho d\theta = $
$ = \int_0^{2\pi} [\rho^4/4 cos^2 \theta + 4/3 \rho^3 cos\theta + 2\rho^2 - \rho^4]_0^{2/(2 - cos\theta)} d\theta = $
$ = \int_0^{2\pi} [(4 cos^2\theta) /(2 - cos\theta)^4 + (32 cos\theta)/(3(2 - cos\theta)^3) + 8/(2 - cos\theta)^2 - 16/(2 - cos\theta)^4] d\theta = $
$ = \int_0^{2\pi} \frac{12 cos^2 \theta + 32 cos\theta (2 - cos\theta) + 24(2 - cos\theta)^2 - 48}{3 (2 - cos\theta)^4} d\theta = $
$ = 1/3 \int_0^{2\pi} \frac{12 cos^2 \theta + 64 cos\theta - 32 cos^2\theta + 24(4 - 4cos\theta + cos^2\theta) - 48}{(2 - cos\theta)^4} d\theta = $
$ = 1/3 \int_0^{2\pi} \frac{4 cos^2 \theta - 32 cos\theta + 48}{(2 - cos\theta)^4} d\theta = 4/3 \int_0^{2\pi} \frac{cos^2 \theta - 8 cos\theta + 12}{(2 - cos\theta)^4} d\theta = $
$ = 4/3 \int_0^{2\pi} \frac{(2 - cos\theta)(6 - cos\theta)}{(2 - cos\theta)^4} d\theta = 4/3 \int_0^{2\pi} \frac{6 - cos\theta}{(2 - cos\theta)^3} d\theta = 4/3 \cdot \frac{16\sqrt{3}\pi}{9} = \frac{64\sqrt{3}\pi}{27} $

Infatti si può dimostrare che si ha $ \int_0^{2\pi} \frac{6 - cos\theta}{(2 - cos\theta)^3} d\theta = \frac{16\sqrt{3}\pi}{9} $,
ma non è banale, per cui sceglierei un'altra strada...

Grazie mille!