Due domande di analisi: un limite e un integrale
Mi accorgo di non riuscire a risolvere una tipologia di limiti:
ES: $lim x->0 e^(a/x)/x$
Con il confronto di infinitesimi non è possibile portarlo a termine, nemmeno con de l'Hopital.
Non capisco bene come si facciano.
PS: sia a>0 e poi a<0
ES: $lim x->0 e^(a/x)/x$
Con il confronto di infinitesimi non è possibile portarlo a termine, nemmeno con de l'Hopital.
Non capisco bene come si facciano.
PS: sia a>0 e poi a<0
Risposte
Supponiamo che sia $a>0$. L'altro caso è identico. Guardiamo il limite
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{a/x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} e^{a/x} \cdot \frac{1}{x}\]
Poiché
\[ \lim_{x \to 0^+} e^{a/x} = + \infty \quad \quad \wedge \quad \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = + \infty \]
Hai
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{a/x}}{x} = + \infty \]
Guardiamo ora il limite
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{a/x}}{x} = \lim_{y \to -\infty} ye^{ay} = \lim_{y \to -\infty} \frac{y}{e^{-ay}} \overset{H}{=} \lim_{y \to -\infty} \frac{1}{-ae^{-ay}} = \lim_{y \to \infty} -\frac{e^{ay}}{a} = 0 \]
Per il secondo limite puoi anche osservare che l'ordine di infinitesimo di un esponenziale è sempre maggiore di quello di un polinomio e quindi "vince" il numeratore.
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{a/x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} e^{a/x} \cdot \frac{1}{x}\]
Poiché
\[ \lim_{x \to 0^+} e^{a/x} = + \infty \quad \quad \wedge \quad \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = + \infty \]
Hai
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{a/x}}{x} = + \infty \]
Guardiamo ora il limite
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{a/x}}{x} = \lim_{y \to -\infty} ye^{ay} = \lim_{y \to -\infty} \frac{y}{e^{-ay}} \overset{H}{=} \lim_{y \to -\infty} \frac{1}{-ae^{-ay}} = \lim_{y \to \infty} -\frac{e^{ay}}{a} = 0 \]
Per il secondo limite puoi anche osservare che l'ordine di infinitesimo di un esponenziale è sempre maggiore di quello di un polinomio e quindi "vince" il numeratore.
Ti ringrazio davvero tanto per la risposta chiara.
Mi piacerebbe porti un'ultima domanda di analisi, che sto cercando di preparare per settembre.
(ho modificato il titolo per maggior chiarezza di chi frequenta queste pagine)
Stavo risolvendo
$\int2/(x+2sqrt(x+1))$
Ho individuato che è per sostituzione e risolto correttamente
$t= sqrt( x + 1) ⇔ x = t^2 − 1$ so già che questo metodo risolutivo è un metodo mnemonico, il teorema a cui fa capo è la lettura "inversa" della derivazione di una funzione composta.
Il mio dubbio però è nel passaggio in cui risolve quell'equazione irrazionale, non capisco perché non si ponga mai t>0, infatti se si eleva il radicale a indice pari per toglierlo e l'altro membro lo si "quadra", beh introduco delle soluzioni.
Eppure vedo che negli esercizi svolti se ne fregano bellamente della condizione di concordanza dei segni, non capisco perché
Mi piacerebbe porti un'ultima domanda di analisi, che sto cercando di preparare per settembre.
(ho modificato il titolo per maggior chiarezza di chi frequenta queste pagine)
Stavo risolvendo
$\int2/(x+2sqrt(x+1))$
Ho individuato che è per sostituzione e risolto correttamente
$t= sqrt( x + 1) ⇔ x = t^2 − 1$ so già che questo metodo risolutivo è un metodo mnemonico, il teorema a cui fa capo è la lettura "inversa" della derivazione di una funzione composta.
Il mio dubbio però è nel passaggio in cui risolve quell'equazione irrazionale, non capisco perché non si ponga mai t>0, infatti se si eleva il radicale a indice pari per toglierlo e l'altro membro lo si "quadra", beh introduco delle soluzioni.
Eppure vedo che negli esercizi svolti se ne fregano bellamente della condizione di concordanza dei segni, non capisco perché
Be diciamo che è implicito quando scrivi \( t = \sqrt{x+1} \) che \(t>0\) perché la funzione \(f(x)= \sqrt{x} \) a è una mappa \( f : [0, + \infty) \to [0, + \infty) \).
Che vuol dire
?
Che vuol dire
"yessa":
[...] beh introduco delle soluzioni.
?
Intendevo dire che quando mi trovo di fronte a disequazioni del tipo
$sqrt(A(x))=B(x)$
Se non ponessi $B(x)>=0$ nel momento in cui scrivo $A(x)=(B(x))^2$ introduco delle soluzioni. E in questo caso essendo t definita da (-inf.,+inf) secondo me sarebe da porre $t>=0$.
Perché invece non si fa?
$sqrt(A(x))=B(x)$
Se non ponessi $B(x)>=0$ nel momento in cui scrivo $A(x)=(B(x))^2$ introduco delle soluzioni. E in questo caso essendo t definita da (-inf.,+inf) secondo me sarebe da porre $t>=0$.
Perché invece non si fa?
Faccio un up dell'ultimo post perché sono incuriosito e mi piacerebbe far chiarezza:
"yessa":
Intendevo dire che quando mi trovo di fronte a disequazioni del tipo
$sqrt(A(x))=B(x)$
Se non ponessi $B(x)>=0$ nel momento in cui scrivo $A(x)=(B(x))^2$ introduco delle soluzioni. E in questo caso essendo t definita da (-inf.,+inf) secondo me sarebe da porre $t>=0$.
Perché invece non si fa?
Scusa mi sono dimenticato di risponderti.
Non capisco cosa tu intenda con la locuzione "introduco delle soluzioni".
Quando usi il cambio di variabile $t = \sqrt{x+1} $ stai implicitamente supponendendo che $t\ge0$ perché stai eguagliando la quantità $t$ ad una quantità non negativa. Ma non è una cosa importante, cioè non influisce minimamente sui conti...
Quindi hai:
\[ \int\frac{2}{x+2\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{4t}{t^2-1+2t}dt = (2+\sqrt{2}) \log(t+\sqrt{2}+1) -(\sqrt{2}-2) \log(-t+\sqrt{2}-1) = (2+\sqrt{2}) \log(\sqrt{x+1}+\sqrt{2}-1) -(\sqrt{2}-2) \log(-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}-1) \]
Cosa non ti torna?
Non capisco cosa tu intenda con la locuzione "introduco delle soluzioni".
Quando usi il cambio di variabile $t = \sqrt{x+1} $ stai implicitamente supponendendo che $t\ge0$ perché stai eguagliando la quantità $t$ ad una quantità non negativa. Ma non è una cosa importante, cioè non influisce minimamente sui conti...
Quindi hai:
\[ \int\frac{2}{x+2\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{4t}{t^2-1+2t}dt = (2+\sqrt{2}) \log(t+\sqrt{2}+1) -(\sqrt{2}-2) \log(-t+\sqrt{2}-1) = (2+\sqrt{2}) \log(\sqrt{x+1}+\sqrt{2}-1) -(\sqrt{2}-2) \log(-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}-1) \]
Cosa non ti torna?
Nono, l'integrale mi torna bene.
Il problema è proprio più stupido e basilare, è un dubbio sulle equazioni irrazionali se vogliamo.
Io so dalle superiori che quando vado a risolvere $root(n)(f(x))=g(x)$ con n di indice pari devo porre (prima di risolverla):
$f(x)>=0$
$g(x)>=0$
$f(x)=(g(x))^n$
Nel caso specifico t gioca il ruolo di g(x), e mi chiedo invece perché qui si assuma che sicuramente t è positiva, senza mporre il sistema di cui sopra.
Questo intendevo con "aggiungere soluzioni", nel momentoin cui inverto in favore di x.
Il problema è proprio più stupido e basilare, è un dubbio sulle equazioni irrazionali se vogliamo.
Io so dalle superiori che quando vado a risolvere $root(n)(f(x))=g(x)$ con n di indice pari devo porre (prima di risolverla):
$f(x)>=0$
$g(x)>=0$
$f(x)=(g(x))^n$
Nel caso specifico t gioca il ruolo di g(x), e mi chiedo invece perché qui si assuma che sicuramente t è positiva, senza mporre il sistema di cui sopra.
Questo intendevo con "aggiungere soluzioni", nel momentoin cui inverto in favore di x.
Perché nel caso delle sostituzioni degli integrali siamo noi a far calare $t$ dall'alto e a porla uguale ad un espressione non negativa. Non è che ci viene data una equazione e ci viene chiesto quali siano i valori che la verificano. Siamo semplicemente noi che prendiamo $t$ e la eguagliamo a quell'espressione. Automaticamente $t$ è non negativa.
Grazie, certe volte ho dubbi molto stupidi.
Mi sei stato di grande aiuto
Mi sei stato di grande aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo