Stima di questa sommatoria

[absinth]

Ciao a tutti! Vi chiedo per favore di darmi una mano a stimare precisamente a cosa tende questa sommatoria. Mi sembrava di averlo fatto in passato ma ora non ci riesco.

[size=150]$$\sum_{s=0}^{\log_2 m} 2^{\frac{m}{2^s}}$$[/size]

in sostanza è la somma delle radici di ordine 2^s di 2^m... stima come caso massimo quando s=0 :

[size=150]$$\sum_{s=0}^{\log_2 m} 2^{\frac{m}{2^s}}\leq \sum_{s=0}^{\log_2 m} 2^m = 2^m \log_2 m $$[/size]

altro però non riesco a dire... se qualcuno riuscisse a dire qualcosa in più lo ringrazierei

[pilloeffe]

Ciao absinth,

Non so se ti interessa ancora, ma ripesco questo tuo post perché mi interessava e avevo cominciato a rifletterci, poi per la consueta mancanza di tempo ho dovuto lasciar perdere...
La somma proposta è la seguente:

$ \sum_{s=0}^{\log_2 m} 2^{\frac{m}{2^s}} $

Ho ragionato così: deve potersi scrivere $m = 2^N \implies N = log_2 m $, perché gli indici di somma devono per forza essere numeri naturali, per cui si ha:

$ \sum_{s=0}^{\log_2 m} 2^{\frac{m}{2^s}} = \sum_{s=0}^{N} 2^{\frac{2^N}{2^s}} = \sum_{s=0}^{N} 2^{2^{N - s}} = \sum_{k=0}^{N} 2^{2^k} \le \sum_{k=0}^{N} 2^{2^N} = 2^{2^N} (N + 1) = 2^m (log_2 m + 1) $

[absinth]

Si mi interessa ancora grazie mille!