Limite funzione due variabili definita per casi
Ciao a tutti, ho problemi con questo esercizio. (In realtà il problema è questo tipo di funzioni definite così).
Dovrei provare a vedere se è continua nel suo dominio questa funzione.
$f(x,y)=\frac{x(x^2+y^2)}{y}$ se $y\ne 0$ e vale 0 se $y=0$.
Il problema è sull'asse x chiaramente. Lavoriamo per esempio nell'origine.
Non si possono usare le polari a prima vista, l'unica è usare le restrizioni (cioè far vedere che l'inf dei delta al variare dei parametri direttori delle rette è positivo, e in questo caso mi viene nullo) però non capisco come ragionare, non capisco come muovermi sull'asse x.
Dovrei provare a vedere se è continua nel suo dominio questa funzione.
$f(x,y)=\frac{x(x^2+y^2)}{y}$ se $y\ne 0$ e vale 0 se $y=0$.
Il problema è sull'asse x chiaramente. Lavoriamo per esempio nell'origine.
Non si possono usare le polari a prima vista, l'unica è usare le restrizioni (cioè far vedere che l'inf dei delta al variare dei parametri direttori delle rette è positivo, e in questo caso mi viene nullo) però non capisco come ragionare, non capisco come muovermi sull'asse x.
Risposte
Ciao!
Perché non puoi usare le polari?
Perché non puoi usare le polari?
Se si fa la sostituzione passando alle polari resta un seno al denominatore, a quel punto?
Nei punti diversi dall'origine basta considerare le restrizioni alle rette parallele agli assi passanti per quei punti, nell'origine basta considerare le restrizioni a tutte le rette passanti per l'origine.
Mmh, quindi dici di sostituire $y=mx$ e considerare $f(x,mx)=\frac{x^2(1+m^2)}{m}$ e poi fare il limite per x che tende a 0? In tal caso verrebbe effettivamente zero per m diverso da zero e $+\infty$ per m=0 (anche se nel caso m=0 diventa f(x,0)=0). Questo basta a concludere che il limite non esiste?
E perché negli altri punti bastano solo le rette parallele?
Scusate le domande ma sono un po' confuso su questa cosa in questo momento.
E perché negli altri punti bastano solo le rette parallele?
Scusate le domande ma sono un po' confuso su questa cosa in questo momento.
"Reyzet":
Mmh, quindi dici di sostituire $y=mx$ e considerare $f(x,mx)=\frac{x^2(1+m^2)}{m}$ e poi fare il limite per x che tende a 0? In tal caso verrebbe effettivamente zero per m diverso da zero e $+\infty$ per m=0 (anche se nel caso m=0 diventa f(x,0)=0). Questo basta a concludere che il limite non esiste?
No scusa ho sbagliato, questo non fa concludere nulla, prova però ad usare restrizioni del tipo $y=mx^3, m\inRR$.
E perché negli altri punti bastano solo le rette parallele?
Scusate le domande ma sono un po' confuso su questa cosa in questo momento.
Il motivo per cui si usano le restrizioni è che se su una restrizione il limite fa un certo valore, allora sappiamo che se il limite esiste deve fare quel valore, quindi se troviamo due restrizioni in cui il limite viene diverso possiamo concludere che il limite non esiste. In questo caso se restringi all'asse $x$ hai costantemente $0$, mentre se restringi alla retta $x=x_0ne0$ il limite per $y\to0$ viene infinito, quindi il limite (totale) non esiste.
Ah beh si, sapevo la cosa delle restrizioni.
Comunque a questo punto pensavo di risolvere la cosa in questa maniera:
$\frac{x(x^2+y^2)}{y} = xy+ \frac{x^3}{y}$ ora la funzione sulla destra non ha limite se ci avviciniamo all'origine (restrizioni $x=0$ e $y=x^3$) da cui non lo ha neanche quella iniziale. Va bene?
Comunque a questo punto pensavo di risolvere la cosa in questa maniera:
$\frac{x(x^2+y^2)}{y} = xy+ \frac{x^3}{y}$ ora la funzione sulla destra non ha limite se ci avviciniamo all'origine (restrizioni $x=0$ e $y=x^3$) da cui non lo ha neanche quella iniziale. Va bene?
Si.
Ma se l'altra ammette limite finito (come in questo caso) sì.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo