Frontiera, versore uscente e flusso
Ciao,
ho ancora tanti dubbi su come parametrizzare la frontiera di un dominio e su come calcolare il flusso di un campo. Spero qualcuno riesca a spiegarmi come risolvere questo tipo di esercizi.
Si consideri la regione
\(\displaystyle D=\{(x,y,z): 2 \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 1+x^2+y^2 \} \)
1) Scrivere una parametrizzazione della frontiera $\delta D$ e tracciare un disegno qualitativo.
2) Determinare il versore normale uscente nei punti regolari della superficie della frontiera.
3) Calcolare il flusso $\phi$ del campo $F=(z,x^2y,y^2z)$ uscente dalla frontiera.
I miei dubbi:
1) Ho capito che $D$ rappresenta la regione di spazio compresa tra un paraboloide infinito con origine in $(0,0,1)$ e un cono infinito con il vertice nell'origine. Non sono però in grado di parametrizzare la frontiera perchè non riesco a capire come devo comportarmi quando c'è un "buco" all'interno.
2) Il versore uscente è "quello che punta all'esterno del cono" o quello che punta all'interno del paraboloide (che è comunque uscente)?
3) In questo caso è conveniente usare il teorema della divergenza o calcolarlo nel modo "standard"?
So che ho messo parecchia carne al fuoco, ma questo è l'unico argomento che non riesco ancora a masticare bene.
Grazie in anticipo!
ho ancora tanti dubbi su come parametrizzare la frontiera di un dominio e su come calcolare il flusso di un campo. Spero qualcuno riesca a spiegarmi come risolvere questo tipo di esercizi.
Si consideri la regione
\(\displaystyle D=\{(x,y,z): 2 \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 1+x^2+y^2 \} \)
1) Scrivere una parametrizzazione della frontiera $\delta D$ e tracciare un disegno qualitativo.
2) Determinare il versore normale uscente nei punti regolari della superficie della frontiera.
3) Calcolare il flusso $\phi$ del campo $F=(z,x^2y,y^2z)$ uscente dalla frontiera.
I miei dubbi:
1) Ho capito che $D$ rappresenta la regione di spazio compresa tra un paraboloide infinito con origine in $(0,0,1)$ e un cono infinito con il vertice nell'origine. Non sono però in grado di parametrizzare la frontiera perchè non riesco a capire come devo comportarmi quando c'è un "buco" all'interno.
2) Il versore uscente è "quello che punta all'esterno del cono" o quello che punta all'interno del paraboloide (che è comunque uscente)?
3) In questo caso è conveniente usare il teorema della divergenza o calcolarlo nel modo "standard"?
So che ho messo parecchia carne al fuoco, ma questo è l'unico argomento che non riesco ancora a masticare bene.
Grazie in anticipo!
Risposte
Grazie TeM,
per favore potresti mostrarmi i passaggi del calcolo del flusso che non mi riesce?
Per quanto riguarda il versore normale, ne devo calcolare uno per il paraboloide e uno per il cono? E' possibile che quello del cono sia \(\displaystyle \vec n={1\over \sqrt 3} (-2 cos\theta,-2 sin \theta, 1)\)?
per favore potresti mostrarmi i passaggi del calcolo del flusso che non mi riesce?
Per quanto riguarda il versore normale, ne devo calcolare uno per il paraboloide e uno per il cono? E' possibile che quello del cono sia \(\displaystyle \vec n={1\over \sqrt 3} (-2 cos\theta,-2 sin \theta, 1)\)?
Quindi per il paraboloide si ha
giusto?
Per il flusso quindi tu non hai usato il teorema della divergenza. Usando la divergenza quindi dovrei risolvere:
con un cambio di coordinate?
\(\displaystyle
n^u_\Sigma=\dfrac {1}{\sqrt{\rho^2+\frac{1}{4}}} (\rho cos\theta, \rho sin\theta, -\frac{1}{2})
\)
n^u_\Sigma=\dfrac {1}{\sqrt{\rho^2+\frac{1}{4}}} (\rho cos\theta, \rho sin\theta, -\frac{1}{2})
\)
giusto?
Per il flusso quindi tu non hai usato il teorema della divergenza. Usando la divergenza quindi dovrei risolvere:
\(\displaystyle
\iiint_\Omega x^2+y^2 dx dy dz=\iiint_{\Omega1} x^2+y^2 dx dy dz - \iiint_{\Omega2} x^2+y^2 dx dy dz
\)
\iiint_\Omega x^2+y^2 dx dy dz=\iiint_{\Omega1} x^2+y^2 dx dy dz - \iiint_{\Omega2} x^2+y^2 dx dy dz
\)
con un cambio di coordinate?
Tutto giusto finalmente! 
Grazie mille TeM, mi hai schiarito tantissimo le idee!
Grazie mille TeM, mi hai schiarito tantissimo le idee!
Ciao TeM,
Sto studiando le parametrizzazioni e ho un esercizio simile da risolvere.
Quindi, sto cercando di risolvere questo esercizio però non capisco da dove viene $≤2$ nell'equazione del solido $Ω$.
Quello che non capisco è perché te hai aggiunto un questo $≤2$, nel tuo primo messaggio risposta, dato che non è presente nella domanda di phantom.
Sto studiando le parametrizzazioni e ho un esercizio simile da risolvere.
Quindi, sto cercando di risolvere questo esercizio però non capisco da dove viene $≤2$ nell'equazione del solido $Ω$.
Quello che non capisco è perché te hai aggiunto un questo $≤2$, nel tuo primo messaggio risposta, dato che non è presente nella domanda di phantom.
[xdom="gugo82"]@hamza21: Ho approvato quest'ultimo post, nonostante sia al limite del necropost, sperando che TeM abbia voglia di rispondere.
Nel caso non ci fosse risposta, ti invito ad aprire un nuovo thread.[/xdom]
Nel caso non ci fosse risposta, ti invito ad aprire un nuovo thread.[/xdom]
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