Determinare il carattere di un integrale improprio
Salve a tutti.
Sto avendo problemi col seguente esercizio:
-Determinare il carattere del seguente integrale improprio;
dx/(x^2-4x+3) da 0 a 2.
So’ che l’integrale diverge. Come posso dimostrarlo?
Ho provato a determinarne il ‘valore principale di cauchy’. Ho quindi diviso l’integrale in due integrali e ho fatto coincidere il punto di discontinuità dell’integranda con gli estremi di integrazione.
A questo punto mi veniva un valore finito pari a -ln(3)/2.
Cosa ho sbagliato!?
Qual è la differenza tra il determinare il carattere di un integrale ed il calcolarne il valore principale di Cauchy?
Ps: Posso usare il criterio del confronto asintotico come per le serie!? E se si, devo applicarlo direttamente all’integrale iniziale?
Grazie in anticipo a tutti per la disponibilità.
Sto avendo problemi col seguente esercizio:
-Determinare il carattere del seguente integrale improprio;
dx/(x^2-4x+3) da 0 a 2.
So’ che l’integrale diverge. Come posso dimostrarlo?
Ho provato a determinarne il ‘valore principale di cauchy’. Ho quindi diviso l’integrale in due integrali e ho fatto coincidere il punto di discontinuità dell’integranda con gli estremi di integrazione.
A questo punto mi veniva un valore finito pari a -ln(3)/2.
Cosa ho sbagliato!?
Qual è la differenza tra il determinare il carattere di un integrale ed il calcolarne il valore principale di Cauchy?
Ps: Posso usare il criterio del confronto asintotico come per le serie!? E se si, devo applicarlo direttamente all’integrale iniziale?
Grazie in anticipo a tutti per la disponibilità.
Risposte
Il denominatore si annulla in $1$ al prim'ordine, quindi l'integrale diverge.
Ciao nutshell93,
L'integrale proposto è il seguente:
$\int_0^2 dx/(x^2-4x+3) = \int_0^2 dx/((x-1)(x-3)) $
Conviene scriverlo nel secondo modo perché così si vede subito che c'è un problema in $x_0 = 1 \in (0, 2) $.
Osservando che in $x_0 = 1 $ l'integrale si comporta come...
E quindi, per noti integrali impropri notevoli, l'integrale proposto diverge.
Non lo so, dovrei vedere i calcoli: il risultato $- ln 3/2 $ è corretto.
Qui ti invito a dare un'occhiata alla teoria...
Dai, hai già 40 messaggi, ormai dovresti riuscire a scrivere le formule come si conviene e come descritto qui.
L'integrale proposto è il seguente:
$\int_0^2 dx/(x^2-4x+3) = \int_0^2 dx/((x-1)(x-3)) $
Conviene scriverlo nel secondo modo perché così si vede subito che c'è un problema in $x_0 = 1 \in (0, 2) $.
"nutshell93":
So’ che l’integrale diverge. Come posso dimostrarlo?
Osservando che in $x_0 = 1 $ l'integrale si comporta come...
E quindi, per noti integrali impropri notevoli, l'integrale proposto diverge.
"nutshell93":
Cosa ho sbagliato!?
Non lo so, dovrei vedere i calcoli: il risultato $- ln 3/2 $ è corretto.
"nutshell93":
Qual è la differenza tra il determinare il carattere di un integrale ed il calcolarne il valore principale di Cauchy?
Qui ti invito a dare un'occhiata alla teoria...
Dai, hai già 40 messaggi, ormai dovresti riuscire a scrivere le formule come si conviene e come descritto qui.
"otta96":
Il denominatore si annulla in $1$ al prim'ordine, quindi l'integrale diverge.
Ma il fatto che il denominatore si annulla in 1 implica che l’integrale è improprio! E non che è divergente giusto?
Anche l’integrale di 1/x^2 si annulla in x=0 eppure converge, ad esempio in (-1,1).
infatti ho detto "al prim'ordine", magari avrei dovuto essere più esplicito. Comunque l'integrale di $1/x^2$ in $(-1,1)$ perché è un infinito del secondo ordine e se l'ordine è $>=1$ l'integrale diverge.
Capito grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo