Continuità funzione a tratti

[lepre561]

Studiare la continuità e la derivabilità della funzione $f:]-infty,sqrt5[-->RR$ definita nel modo seguente

$\{(3-2^(1-x)),(8sin^2((pix)/12)),(log_3(25-x^4)):}$

la 1 $x in]-infty,-2]$
la 2 $x in [-2,2[$
la 3$ x in[2,sqrt5[$

ora io ho proceduto in questo modo
$f(-2)=3-2^3=5$
$lim_(xto-2^-)=3-2^3=5$
$lim_(xto-2^+)=8sin^2((pi(-2))/12=2$

dunque in $x=-2$ non è continua

$f(2)=log_3(9)=2$
$lim_(xto2^-)8sin^2((pi(-2))/12=2$
$lim_(xto2^+)(log_3(9)=2$

in 2 la funzione è continua

ecco il mio primo dubbio devo verificare la continuità anche in $sqrt5$ anche se non è definita a destra?


per quanto riguarda la derivabilità invece mi sono calcolato le derivate delle 3 funzione

$2^(1-x)ln2$
$4/3pi(sinpix/12)(cospix/12)$
$(-4x^3)/((25-x^4)(ln3))$

e poi ho fatto i limiti di 2 e-2 sia a destra che a sinistra(allo stesso modo della continuità) siccome i risultati mi sono venuti diversi la funzione non è derivabile in quei punti

ecco il mio secondo dubbio la derivabilità si fa in questo modo? e in $sqrt5$ devo calcolarne la derivabilità?$

[lepre561]

Nessuno?

[otta96]

"lepre561":$\{(3-2^(1-x)),(8sin^2((pix)/12)),(log_3(25-x^4)):}$

la 1 $x in]-infty,-2]$
la 2 $x in [-2,2[$
la 3$ x in[2,sqrt5[$

La funzione non è ben definita perché in $-2$ è definita in due modi diversi, il primo e il secondo (nel seguito assumo che quello corretto sia il primo).

ora io ho proceduto in questo modo
$f(-2)=3-2^3=5$
$lim_(xto-2^-)=3-2^3=5$
$lim_(xto-2^+)=8sin^2((pi(-2))/12=2$

dunque in $x=-2$ non è continua

Va bene.

$f(2)=log_3(9)=2$
$lim_(xto2^-)8sin^2((pi(-2))/12=2$
$lim_(xto2^+)(log_3(9)=2$

in 2 la funzione è continua

Va bene anche questo.

ecco il mio primo dubbio devo verificare la continuità anche in $sqrt5$ anche se non è definita a destra?

No, ma il motivo non è che non è definita a destra, ma che non è definita proprio nel punto! Solo per i punti nel dominio ha senso controllare che siano di continuità o meno. Se fosse stata definita anche in $5$, si sarebbe dovuto controllare se era continua in $5$ (controllando se il limite da sinistra era uguale al valore nel punto).

per quanto riguarda la derivabilità invece mi sono calcolato le derivate delle 3 funzione

$2^(1-x)ln2$
$4/3pi(sinpix/12)(cospix/12)$
$(-4x^3)/((25-x^4)(ln3))$

La prima derivata non dovevi calcolarla perché sai già che in $-2$ la funzione non è continua, quindi non può essere derivabile. Occhio che questo è un errore concettuale abbastanza grave, evita di farlo in un compito.

e poi ho fatto i limiti di 2 e-2 sia a destra che a sinistra(allo stesso modo della continuità) siccome i risultati mi sono venuti diversi la funzione non è derivabile in quei punti

ecco il mio secondo dubbio la derivabilità si fa in questo modo?

C'è un teorema che ti garantisce che SE i limiti destro e sinistro della derivata in un punto esistono finiti, allora la funzione è derivabile nel punto se e solo se i limiti sono uguali, quindi alla luce di questo teorema il tuo procedimento è giusto.
Occhio però che c'è l'ipotesi a priori che i limiti esistono, in particolare se ti capita una situazione in cui non esistono, non puoi dire che la funzione non è derivabile.

e in $sqrt5$ devo calcolarne la derivabilità?$

No per lo stesso motivo di prima.

P.S. Nel tuo messaggio ci sono diversi errori di battitura, magari le prossime volte usa la funzione "Anteprima" per poter controllare che sia scritto bene e correggerlo se serve per migliorarne la leggibilità.

[lepre561]

gentilissimo per la risposta...molto esaudiente e preciso!


ti faccio un altro domanda se mi chiedessero la la continuità di una funzione definita in questo modo

$\{(|x|/(x+1)),(x):}$

con $|x|<2,x!=-1$
$|x|>=2$
tutto il ragionamento di prima lo devo effettuare solo con$2$ quel $-1$ non lo considero proprio??

[otta96]

Si esatto.