Analisi matematica di base

Buongiorno, vorrei che deste un'occhiata a questi (semplici) esercizi sulle serie, in cerca di errori. Esercizio 1 $\sum_{n=1}^infty(cos(n!) + sin(n^2))/(n^2 +n!)$ Poiché $cos(n!)$ e$ sin(n^2)$ oscillano, la serie è a segni alterni. Si ha che $(-2)/(n^2+n!) <= (cos(n!) + sin(n^2))/(n^2 +n!) <= 2/(n^2+n!)$, dunque la successione tende a 0 e può convergere. Si ha anche che $(cos((n+1)!) +sin((n+1)^2))/(n^2+2n+1+(n+1)n!) <= (cos(n!) +sin (n^2))/(n^2+n!)$, dunque $a(n+1) <= a(n)$. La successione inoltre è palesemente positiva. Dunque rispetta tutte le condizioni per applicare Leibnitz e converge. Esercizio ...

ciao. Stavo provando a dimostrare il seguente quesito: --Dimostra che, se $ n \in N \vee n\geq1 $ allora $ n+n^2 $ è pari. e ho tentato 2 diverse strade, entrambe che implicano l'utilizzo del metodo di induzione: $ n+n^2=2m, m \in N $; (base induttiva) se $ n=1 $ allora $ m=1 $, la tesi è dimostrata per $ n=1 $; (ipotesi induttiva) se $ n=n+1 $ allora $ n+1+(n+1)^2<br /> =(n+n^2)+2n+2=2m $, $ n+n^2 $ è pari come da base induttiva, poniamo ...

La funzioni di cui si vogliono trovare massimi e minimi assoluti è questa : $ f(x,y,z)= x+y^2-z^2 $ nell'insieme $E=[(x,y,z), x^2+y^2+z^2<=4 ; z>=0]$. Procedo innanzitutto con il calcolo di eventuali punti critici interni con l'uso delle derivate parziali ( non trovando nulla). Poi applico il metodo dei moltiplicatori di Lagrange al primo vincolo. Tuttavia quando imposto il sistema $ { ( 1-2lambdax=0),( 2y-2lambday=0 ),( -2z-2lambdaz =0),( x^2+y^2+z^2-4=0 ):} $ non so come comportarmi. Qualcuno mi aiuta a trovare i punti risultanti da questo sistema ? Grazie per l'aiuto

Buonasera a tutti oggi ho svolto alcuni esercizi sulle serie. Essendo i primi che svolgo, sono tutti molto semplici. Tuttavia, ho il dubbio di giungere al risultato in modo troppo frettoloso e, soprattutto, in modo poco rigoroso. Vorrei proporvi la mia risoluzione di alcuni esercizi e invitarvi a dispensare consigli su come avrei potuto svolgerli in modo più adeguato (in tutti gli esercizi si chiede di stabilire se la serie converge o no). Esercizio 1 $\sum_{n=1}^infty (arctan((n+1)/(n+800)))^n$ Vi spiego i miei dubbi ...

Buon giorno, avrei bisogno di una mano con questo esercizio, o meglio un metodo generale (se esiste) per affrontare questi esercizi. Si consideri la funzione $f : (0, +oo) -> mathbb(R)$, $f (x) = arctan(x^x − 1)$ [*:35qjtkyq]Sia $A = {\alpha > 0 :$ la restrizione di $f$ a $[\alpha,+oo)$ è iniettiva$}$. Quanto vale $i\nf A$?[/*:m:35qjtkyq] [*:35qjtkyq]Quanto vale $s\up_((x in(0, +oo))$ $f(x)$?[/*:m:35qjtkyq] [*:35qjtkyq]Quanto vale ...

Salve. Vorrei conoscere la dimostrazione per cui a^(1/n)>1 se a >1 per ogni n>0. Grazie

L'esercizio chiede di sviluppare la funzione $ f (x)=sqrt (1+sen (2x^2) $ per $ x->0 $ e con precisione $ o (x^6) $ Ho sostituito il seno con la variabile t e ho sviluppato in t $ 1+t/2-t^2/8+t^3/16-5t^4/128+7t^5/256+21t^6/1024 +o (t^6) $ Riscrivendo lo sviluppo con $ sen (2x^2) $ l'o-piccolo mi diventa $ o (sen (2x^2)) $ Sapete dirmi se ho sbagliato qualcosa o tutto ?

Ciao a tutti non riesco a risolvere un esercizio con le sommatorie... Non capisco dove sbaglio. Il problema sta nella traslazione dell'indice. $ sum_(k=0)^(n -1) 2k+1 $ Quindi $ 2sum_(k=0)^(n -1) k + sum_(k=0)^(n -1) 1 $ $ 2sum_(k=1)^(n) (k+1) + n $ $ 2sum_(k=1)^(n) (k) + n $ $ 2 * (n*(n+1))/2 + n $ A questo punto sappiamo tolgo il simbolo di sommatoria da 1 e diventa n e mi ritorna utile la formula $ sum_(k=1)^(n) k = (n*(n+1))/2 $ Sbaglio nella traslazione dell'indice qualcuno me lo riesce a spiegare in maniera dettagliata? $ sum_(k=0)^(n-1) k = sum_(k=1)^(n) k-1 $

Buongiorno, vorrei sottoporvi il seguente limite di successione, che mi sta creando non pochi problemi: $\lim_{n \to \infty}(n^2)(root(4)((2n^2+3)/(n^2+1)) - root(4)((2n^3+3)/(n^3+1)))$ Ho provato a razionalizzare, ma alla fine mi viene un risultato impossibile.... Il risultato è $root(4)(2)/8$

Salve a tutti, ho grandi problemi con questi esercizi, mi fanno andare fuori di testa, non capisco come approcciarmici: Esempio: Calcolare $L^- = $liminf$_(n->infty){1/2(n - cos((\pin^2)/(1+n))}$ e $L^+ = $limsup$_(n->infty){1/2(n - cos((\pin^2)/(1+n))}$ ( ${}$ indica la parte frazionaria ) Come devo comportarmi? Ovviamente si avrà $0<=L^(-)<=L^(+)<1$ quindi a sentimento $L^+ = 1$ e $L^(-) = 0$ ma come cominciare? Grazie per l'aiuto ( ho qualche problema a inserire in tex liminf e limsup)

$ int_(0)^(pi/2) x^2cosx dx $ $ x^2sin(x)-int_(0)^(pi/2) 2xsin(x) dx $ $ x^2sin(x)-2(-xcos(x)-int_(0)^(pi/2)1-cos(x) dx ) $ $ [x^2sin(x)+2xcos(x)+sin(x)]_(0)^(pi/2)=[(pi/2)^2sin(pi/2)+2((pi/2)cos(pi/2)+sin(pi/2))]-[(0)^2sin(0)+2((0)cos(0))+sin(0)]=pi/4+2$ lo svolgimento è il risultato sono corretti? grazie!

Buonasera, mi chiede di determinare l'eventuale convergenza "ora non ricordo se questo esercizio già l'ho postato, nel'eventualità mi scuso " della $sum_1^(+infty) 1/sqrt(n)-sen(1/sqrt(n))$ Verifico se la serie è termini positivi, ovvero deve risultare $a_n ge 0$ $ 1/sqrt(n)-sen(1/sqrt(n)) ge 0 $ se e soltanto se $1/sqrt(n) ge sen(1/sqrt(n)).$ Essendo che $x ge senx$ per ogni $ x ge 0$, per cui la serie è a termini positivi. Procedo con il criterio del condronto aintotico, $n to + infty$ il termine ...

Ho problemi a disegnare qualitativamente la seguente curva \[ \gamma(t)=(t(25t^{2}-16),9-18t^{2}) \qquad t\in[-1,1] \] Partiamo dal fatto che i punti di partenza e arrivo sono $(-9,-9)$ e $(9,-9)$. Procedo poi così: ricavo \[ \gamma'(t)=(75t^{2}-16,-36t) \] Ora la prima componente della curva cresce da $t=-1$ fino a $t=-\frac{4}{5\sqrt{3}}$ poi decresce fino a $t=\frac{4}{5\sqrt{3}}$ e torna a ricrescere se $t=1$. La seconda componente, invece, cresce da ...

Salve a tutti avrei un dubbio riguardo ad un esercizio di applicazione teorica dei limiti spero riuscite a darmi una mano. supposto che il $\lim_{x \to \a}f(x)$ =-1 e $\lim_{x \to \a}g(x)$=0 calcolare $\lim_{x\to \a}f(x)/g(x)$ e $\lim_{x\to \a}g(x)/f(x)$ in questo caso che teoremi vengono utilizzati? non riesco a capire come si svolge questo esercizio è giusto dire che il primo rapporto viene infinito e il secondo zero?

Buonasera, mi piacerebbe discutere lo studio di funzione della presente $ f(x)=(xe^(-x))/(x-ln(x))$ Cosi qualora si presentassero "quasi sicuramente " degli errori li vorrei discutere. 1. Dominio La seguente funzione è definita per ogni $x in mathbb{R}$ tale che soddisfi il seguente sistema \(\displaystyle X=\begin{cases} x>0, & \mbox{c.e. funzione logaritmica } \\ x-ln(x) \ne 0 , & \mbox{c.e. funzione al denominatore } \end{cases} \) La prima condizione è banalmente verificata; quindi ...

Salve a tutti,sono uno studente di Ingegneria che sta preparando l'esame di analisi 2.. Mi chiedevo se avendo una funzione a due variabili e dovendone calcolare la continuità, la derivabilità e la differenziabilità; se essa non risultasse continua ma avrebbe derivate parziali finite e non nulle sarebbe ugualmente differenziabile? Grazie in anticipo per la risposta.

Ciao a tutti avrei bisogno di un aiuto. Il problema è il seguenta Trova il polinomio di Taylor di quarto grado della funzione $f(x)=cos(x^2)$ nel punto x0=0 La risposta esatta è $1-(x^4/2)$ sono al corrente della formula del polinomio di taylor ma ciò implicherebbe arrivare a calcolare la derivata quarta della funzione che mi sta creando un sacco di grattacapi e inducendo a parecchi errori. Non c'è un modo più semplice per arrivarci? Nel caso mi potreste aiutare con la ...

Salve, vorrei una conferma sul metodo risolutivo per quanto riguarda questo esercizio: Stabilire se l'equazione \(\displaystyle \sqrt[4]{x}=\ln{x} \) ammette soluzioni[/list:u:4bar3b8f] Questo è il metodo che ho utilizzato per risolvere l'esercizio: [*:4bar3b8f]Per prima cosa ho pensato a cosa potrebbe servirmi per risolvere l'esercizio. La scelta è ricaduta su un mini studio di funzione (condizioni di esistenza, limiti, studio delle derivate) ed il teorema degli ...

Oggi ho incontrato questo tipo di esercizio apparentemente semplice Mostrare i passaggi con le proprietà delle sommatorie per arrivare al risultato $ sum_(k = -10)^(-8) 1/(k+1) = sum_(k = 0)^(2) 1/(k-9) $

Mi scuso in anticipo se la sezione è sbagliata L'esercizio chiede di calcolare la derivata della funzione in 1 non con la 'formula classic' ma con la definizione $ f'(x_0)=((f (x_0-h) -f (x_0))/h) $ ovviamente per $ h -> 0 $ La funzione è $ f (x)= 1/(1+x^2) $ Ho cominciato a sviluppare $ f (1-h) $ e $ f (1) $ ma alla fine non riesco mai a semplificare h al denomitore la quale per le proprieta dei limiti porta $ f'(1) -> infty $