Sommatoria Cambio indice

[spigo98]

Ciao a tutti non riesco a risolvere un esercizio con le sommatorie...
Non capisco dove sbaglio.
Il problema sta nella traslazione dell'indice.

$ sum_(k=0)^(n -1) 2k+1 $

Quindi

$ 2sum_(k=0)^(n -1) k + sum_(k=0)^(n -1) 1 $

$ 2sum_(k=1)^(n) (k+1) + n $

$ 2sum_(k=1)^(n) (k) + n $

$ 2 * (n*(n+1))/2 + n $

A questo punto sappiamo tolgo il simbolo di sommatoria da 1 e diventa n e mi ritorna utile la formula

$ sum_(k=1)^(n) k = (n*(n+1))/2 $



Sbaglio nella traslazione dell'indice qualcuno me lo riesce a spiegare in maniera dettagliata?

$ sum_(k=0)^(n-1) k = sum_(k=1)^(n) k-1 $

[pilloeffe]

Ciao davides98,

Anche questo è piuttosto semplice...

La somma proposta è la seguente:

$ \sum_{k = 0}^{n - 1} (2k+1) $

Posto $j := k + 1 $, per $k = 0 $ si ha $j = 1 $ e per $k = n - 1 $ si ha $ j = n $, per cui la somma proposta diventa la seguente:

$ \sum_{k = 0}^{n - 1} (2k+1) = \sum_{j = 1}^{n} (2(j - 1)+1) = \sum_{j = 1}^{n} (2j - 1) = 2 \sum_{j = 1}^{n} j - \sum_{j = 1}^{n} 1 = n(n + 1) - n = n^2 $

[spigo98]

Ok vediamo se ho capito...

mettiamo il caso

$ \sum_{k = 0}^{n - 2} (2k+1) $

Pongo

$ j := k + 2 $

quindi
$ k = 0 $ e $ j = 2 $
o pongo sempre

$ j := k + 1 $


intendo in base a cosa scelgo il +1 ?

?

[pilloeffe]

"davides98":intendo in base a cosa scelgo il +1 ?

Beh, dipende da cosa vuoi fare: nel caso di prima faceva comodo che l'indice partisse da $1 $ e arrivasse a $n $, in questo caso cosa vuoi fare?
Se vuoi che l'indice parta da $1$ e arrivi a $n - 1 $ allora dovrai porre $j := k + 1 $, infatti se $k $ va da $0 $ a $n - 2 $ allora $ j $ va da $1$ a $n - 1 $;
se invece vuoi che l'indice parta da $2 $ e arrivi a $n $ allora dovrai porre $j := k + 2 $, infatti se $k $ va da $0 $ a $n - 2 $ allora $ j $ va da $2$ a $n $

[spigo98]

Ok provo a risolverla

$ \sum_{k = 0}^{n - 2} (2k+1) $

$ j := k + 1 $

quindi

$ 2\sum_{j = 1}^{n } (j-1) + 2 $

ho traslato l'indice da sopra
quindi

$ 2\sum_{j = 1}^{n } (j-1) + 2 = n*(n+1) - n + 2n $

$n^2 + n - n + 2n $

$n(n+2) $

ma risulta sbagliato ...
dovrebbe venire
$(n-1)^2$
non capisco dove sbaglio...

[pilloeffe]

"davides98":non capisco dove sbaglio...

Beh, se hai deciso per $ j := k + 1 $, questo significa $k = [0:(n - 2)] \implies j = [1:(n - 1)] $ e quindi si ha:

$\sum_{k = 0}^{n - 2} (2k+1) = \sum_{j = 1}^{n - 1} (2(j - 1) +1) = \sum_{j = 1}^{n - 1} (2j - 1) = 2 \sum_{j = 1}^{n - 1} j - \sum_{j = 1}^{n - 1} 1 = 2 [(\sum_{j = 1}^{n} j) - n] - (n - 1) = $
$ = 2 [\frac{n(n + 1)}{2} - n ] - (n - 1) = n^2 + n - 2n - n + 1 = n^2 - 2n + 1 = (n - 1)^2 $

[spigo98]

Scusa l'insistenza ma non mi è chiaro questo passaggio

$ 2 \sum_{j = 1}^{n - 1} j - \sum_{j = 1}^{n - 1} 1 = 2 [(\sum_{j = 1}^{n} j) - n] - (n - 1) $

[pilloeffe]

Beh, è semplice, facciamone una alla volta:

$ 2 \sum_{j = 1}^{n - 1} j = 2 [1 + 2 + ... + (n - 1)] = 2 [1 + 2 + ... + (n - 1) + n - n] = 2 [\sum_{j = 1}^{n} j - n] $

Questo perché fa comodo che la somma arrivi fino a $n $ dato che è ben nota la somma dei primi $n $ numeri naturali.
Per la seconda somma in generale si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\sum_{j=m}^{p} c = \underbrace{c + c + c + \dots + c}_{(p - m + 1)\; volte} = c \cdot (p - m + 1)}
\end{equation*}

Nel caso in esame si ha $m = 1$, $p = n - 1 $ e $c = 1$ per cui si ha:

$ \sum_{j=1}^{n - 1} 1 = 1 \cdot (n - 1 - 1 + 1) = (n - 1) $