Disequazione irrazionale

[betuf]

Questa disequazione mi sta mettendo in difficoltà. Qualche suggerimento? Il risultato dovrebbe essere x=-5.

$ (x-3)/sqrt(x+9)>=x+1 $

[gugo82]

Qualche suggerimento?

Sì: posta i calcoli.

[pilloeffe]

Ciao betuf,

Benvenuto/a sul forum!

"betuf":Questa disequazione mi sta mettendo in difficoltà

Perché ti sta mettendo in difficoltà? Si tratta di una normale disequazione irrazionale, che si può scrivere facilmente nella forma seguente:

$\sqrt{f(x)} <= g(x) $

ove $f(x) := x + 9 $ e $g(x) := \frac{x - 3}{x + 1} $, che si risolve col consueto sistema di disequazioni. Che cos'è che non riesci a fare?

[betuf]

Dopo fiumi di sangue e lacrime sono arrivato a una soluzione.
A voi, posteri!

"pilloeffe":
Perché ti sta mettendo in difficoltà? Si tratta di una normale disequazione irrazionale, che si può scrivere facilmente nella forma seguente:

$ \sqrt{f(x)} <= g(x) $

ove $ f(x) := x + 9 $ e $ g(x) := \frac{x - 3}{x + 1} $, che si risolve col consueto sistema di disequazioni. Che cos'è che non riesci a fare?

Così non mi torna. In questo modo dovrei trasformare la disequazione in $x-3 >= (x+1)*sqrt(x+9)$, ma poi non posso semplicemente dividere per $(x+1)$ ignorandone il segno.

La soluzione che ho adottato è questa:
Data la disequazione $ (x-3)/sqrt(x+9)>=x+1 $
Studio la condizione di esistenza: C.E. $x> -9 $.
Studio i segni di $(x-3)$ e di $(x+1)$ per identificare le casistiche da analizzare.
Le casistiche risultanti sono tre:
1. Con $x<=-1$: $(x-3)$ e di $(x+1)$ sono entrambe negative,
2. Con $-1 3. Infine, con $x \ge3$ sono entrambe positive.

Creo un sistema per ogni caso.
S1:\begin{cases}
x \leqslant -1 \\
\frac{(3-x)}{\sqrt{x+9}}\geqslant -x-1
\end{cases}

S2:\begin{cases}
-1 \frac{(x-3)}{\sqrt{x+9}} \geqslant x+1
\end{cases}
ma questo sistema sarà sicuramente falso perché, in questo caso, il valore di sinistra della disequazione sarà negativo, mentre quello di destra sarà positivo.

Infine
S3:\begin{cases}
x \geqslant 3\\
\frac{(x-3)}{\sqrt{x+9} }\geqslant x+1
\end{cases}
Per risolverle le disequazioni elevo tutto al quadrato.
Il risultato dell'unione dei sistemi lo metto a sistema con la condizione di esistenza:
\begin{cases}
x<-9 \vee x=-5\\
x>-9
\end{cases}
Il risultato è $x = -5$, yeee.

[pilloeffe]

"betuf":Così non mi torna. [...]

Mah, e perché? Chiaramente devi un po' rielaborarla...
Farei così... Facendo il minimo comune L'equazione irrazionale proposta diventa la seguente:

$\frac{(x + 1)\sqrt{x + 9} - x + 3}{\sqrt{x + 9}} <= 0 $

Dato che naturalmente il denominatore è sempre positivo quando esiste, cioè per $x > - 9 $, la frazione può essere minore o uguale a $0 $ solo se il numeratore è negativo o nullo, cioè se si ha:

$(x + 1) \sqrt{x + 9} <= x - 3 $

Quindi, dividendo per $x + 1 $ e supponendo $x + 1 > 0 $ si ha proprio:

$ \sqrt{x + 9} <= \frac{x - 3}{x + 1} $

con $x > - 1 $, che non ha soluzioni. Quindi sarà $x + 1 < 0 $ e dividendo per $x + 1 $ occorre cambiare verso alla disuguaglianza:

$ \sqrt{x + 9} >= \frac{x - 3}{x + 1} $

con $ - 9 < x < - 1 $

Elevando al quadrato si trova:

$ (x^2 + 2x + 1)(x + 9) >= x^2 - 6x + 9 $

$ x^3 + 9x^2 + 2x^2 + 18x + x + 9 >= x^2 - 6x + 9 $

$x^3 + 10x^2 + 25x >= 0 $

$x(x^2 + 10x + 25) >= 0 $

$x(x + 5)^2 >= 0 $

Quest'ultima ha soluzioni $x >= 0 $, che però non va bene perché deve essere $ - 9 < x < - 1 $, e $x = - 5 $: dunque quest'ultima è la sola soluzione accettabile.