Determinare soluzioni di un'equazione
Salve, vorrei una conferma sul metodo risolutivo per quanto riguarda questo esercizio:
- Stabilire se l'equazione \(\displaystyle \sqrt[4]{x}=\ln{x} \) ammette soluzioni[/list:u:4bar3b8f]
Questo è il metodo che ho utilizzato per risolvere l'esercizio:
[*:4bar3b8f]Per prima cosa ho pensato a cosa potrebbe servirmi per risolvere l'esercizio. La scelta è ricaduta su un mini studio di funzione (condizioni di esistenza, limiti, studio delle derivate) ed il teorema degli zeri.[/*:4bar3b8f]
[*:4bar3b8f]Considero \(\displaystyle \sqrt[4]{x}=\ln{x} \) come \(\displaystyle \sqrt[4]{x}-\ln{x}=0 \) le cui condizioni di esistenza sono \(\displaystyle x>=0 \) per la radice e \(\displaystyle x>0 \) per il logaritmo. Valutando entrambe le condizioni ottengo che la condizione di esistenza è \(\displaystyle x>0 \). Ho quindi determinato il dominio che è \(\displaystyle (0,\infty) \)[/*:4bar3b8f]
[*:4bar3b8f]Valuto i limiti agli estremi del dominio:
[*:4bar3b8f]\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} {\sqrt[4]{x}-\ln{x}} = \infty \)[/*:4bar3b8f]
[*:4bar3b8f]\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} {\sqrt[4]{x}-\ln{x}} = \infty - \infty \) mi trovo in una forma di indecisione, pongo allora \(\displaystyle \sqrt[4]{x}-\ln{x} = \ln{e^{\sqrt[4]{x}}}-\ln{x} = e^{\sqrt[4]{x}}-x \) e per le gerarchie di infiniti so che \(\displaystyle e^{\sqrt[4]{x}} \) tende ad infinito più velocemente di \(\displaystyle x \) quindi in definitiva \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} {\sqrt[4]{x}-\ln{x}} = \infty \)[/*:4bar3b8f]
[/list:u:4bar3b8f]
[/*:4bar3b8f]
[*:4bar3b8f]Avendo ai due estremi del dominio valori con lo stesso segno il teorema degli zeri non mi può aiutare per valutare se esiste almeno una soluzione nell'intervallo \(\displaystyle (0,\infty) \). Ho quindi due opzioni, trovare un intervallo in cui i valori della funzione agli estremi sono opposti (cosi da risolvere tramite il teorema degli zeri) oppure proseguire lo studio della funzione.[/*:4bar3b8f]
[*:4bar3b8f]Decido di proseguire lo studio della funzione calcolando la derivata prima:
[*:4bar3b8f]\(\displaystyle f(x) = \sqrt[4]{x}-\ln{x} \)[/*:4bar3b8f]
[*:4bar3b8f]\(\displaystyle f^{\prime}(x) = \frac{\sqrt[4]{x}-4}{4x} \)[/*:4bar3b8f]
[/list:u:4bar3b8f]
[/*:4bar3b8f]
[*:4bar3b8f]\(\displaystyle f^{\prime}(x) = 0 \) quando \(\displaystyle x = 256 \) quindi \(\displaystyle x \) è un punto stazionario. Per valori minori di \(\displaystyle x = 256 \) la funzione è decrescente, per valori maggiori di \(\displaystyle x = 256 \) la funzione è crescente. Il punto stazionario è quindi un punto di minimo.[/*:4bar3b8f]
[*:4bar3b8f]Sostituisco il valore del punto di minimo all'interno di \(\displaystyle f(x) \) ed ottengo che \(\displaystyle f(256) < 0 \) [/*:4bar3b8f]
[*:4bar3b8f]Ora posso tornare a valutare il teorema degli zeri in quanto conosco dei valori per cui la funzione è negativa e dei valori per cui essa è positiva. Nello specifico per via del teorema degli zeri posso affermare che:
[*:4bar3b8f]Per l'intervallo \(\displaystyle (0,256] \) esiste almeno una soluzione[/*:4bar3b8f]
[*:4bar3b8f]Per l'intervallo \(\displaystyle [256,\infty) \) esiste almeno una soluzione[/*:4bar3b8f]
[/list:u:4bar3b8f]
[/*:4bar3b8f]
[/list:u:4bar3b8f]
Dovrei aver risolto l'esercizio in quanto non mi viene richiesto di calcolare i valori delle soluzioni né di calcolare tutte le soluzioni. L'esercizio è svolto il modo corretto? Nel caso in cui tutto sia corretto poteva essere sviluppato in un modo più veloce?
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità
Risposte
Ciao!
L’idea non è male, ma è esageratamente lunga per un problema che può richiedere due sole righe.
Poni $f(x)=root(4)(x)-ln(x)$
- Per $x=1$ si ha $f(1)=1>0$
- Per $x=e^4$ si ha $f(e^4)=e-4<0$
Quindi $f$ ha almeno una soluzione in $(1,e^4)$
L’idea non è male, ma è esageratamente lunga per un problema che può richiedere due sole righe.
Poni $f(x)=root(4)(x)-ln(x)$
- Per $x=1$ si ha $f(1)=1>0$
- Per $x=e^4$ si ha $f(e^4)=e-4<0$
Quindi $f$ ha almeno una soluzione in $(1,e^4)$
Effettivamente è vero, trovando subito ad occhio dei valori molto semplici su cui fare i calcoli come quelli proposti posso applicare da subito il teorema degli zeri ed evitare tanti conti. Probabilmente non avendo fatto ancora molti esercizi di questo genere non sono abituato a vedere ad occhio dei valori utili!
Nel caso in cui non mi vengano in mente subito dei valori un eventuale mix di studio di funzione e teorema degli zeri come quello da me proposto è una via corretta di procedere?
Nel caso in cui non mi vengano in mente subito dei valori un eventuale mix di studio di funzione e teorema degli zeri come quello da me proposto è una via corretta di procedere?
Si la soluzione da te riportata va benissimo.
Alla fine hai fatto vedere che da un lato diverge(e quindi è definitivamente positiva) e dall’altro hai un minimo negativo. Questa idea è bella quando hai a che fare con funzioni complicate, quindi tienila comunque come amica
Alla fine hai fatto vedere che da un lato diverge(e quindi è definitivamente positiva) e dall’altro hai un minimo negativo. Questa idea è bella quando hai a che fare con funzioni complicate, quindi tienila comunque come amica
Vedrò di tenerla a mente 
Grazie per l'aiuto
Grazie per l'aiuto
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