Analisi matematica di base

Ok, domani esame! Sia dato l'infinitesimo (per x->0): $f(x)=\frac{3x^2-sin(3x^2)}{1-cos(4x)+ln(1-8x^2)}<br /> <br /> a) Discutere, al variare di $\alpha >0$, $lim_{x->0^+} \frac{f(x)}{x^\alpha}$<br /> b) Determinare l'ordine di infinitesimo di $f(x) + \frac{x^5}{1-x^2}$<br /> <br /> Io ho sviluppato f(x) con Taylor e ho:<br /> <br /> $f(x)=\frac{3x^2-(3x^2-27/6 x^6 +o(x^6))}{1-(1-16/2 x^2 + 256/24 x^4 - 4096/720 x^6 +o(x^6))+(-8x^2+o(x^2))} cioé: $f(x)= \frac{9/2 x^6 +o(x^6)}{4096/720 x^6+o(x^6)} = 0.7910$ Ora, se ho fatto bene, per $\alpha>0$ il limite dovrebbe venire 0, qualunque sia $\alpha$. Il punto b) invece come posso fare? So che ci sono delle ...

Ciao a tutti, sto cercando di formalizzare la costruzione della coordianta curvilinea su una curva: sia $f: [0,1]->R^2$ una curva $C^\infty$, chiusa e semplice (initettiva su [0,1[), voglio riparametrizzare f in funzione della lunghezza dell'arco f(0),f(t). Definisco la funzione lunghezza: $L:[0,1]->[0,r], L(t)=\int_0^t |f'(u)| du$ , dove r è la lunghezza della curva f Ora dimostro che L è biettiva e $C^\infty$ e la inverto. La riparametrizzazione di f con la coordinata curvilinea sarà ...

Ok, dopo una lunga serie di dubbi che mi avete chiarito, vi chiedo un ultimo sforzo 1)Come faccio a calcolare il codominio di una funzione in $RR^2"$ ? 2)Data una funzione del tipo (la sto inventando perchè non ho il testo dell'esame) $f(x)=\int_0^1 xydy$ E' giusto dire che la funzione è l'integrale svolto? Perchè l'esercizio chiedeva di calcolare un limite sulla derivata di $f(x)$ e quindi io ho pensato che dovevo derivare il risultato dell'integrale, ma il prof ...

Salve, stu studiando analisi 1 e devo dimostrare che se T è un compatto, f è una funzione continua da T ad E, ed f è bigettiva, allora $f^-1$ è continua. Io non riesco a capire a cosa serva l'ipotesi di compattezza: se io ho una funzione continua applicata a un T compatto, allora so che $f (T)$ è limitato e chiuso, ma non capisco a cosa serva ai fini della dimostrazione, io pensavo di dimostrarla così: $y in E -> y = f (x)$ per un solo $x in T$. Se applico ...

ciao! volevo sapere coma mai la soluzione di questo integrale $int1/(3+sqrt[x])$ è $ 2*(sqrt[x]-3log(3+sqrt[x])$ cioè, in generale, so che $int1/x$ è $logx$ ma come devo ragionare se al denominatore ho, ad es., $x+1$??? grazie mille!!! ciao

Dovrei rispondere a queste domande: 1-Definizione di f derivabile in x0 e significato geometrico. 2-Verificare con la definizione che $f(x) = |x^2 - 1|$ non è derivabile in x0 = -1. 3-Sapendo che (2,-1) appartiene al grafico(g) e che la retta tangente al grafico di g in (2,-1) è y -2x + 5 = 0 dire quanto vale la derivata g'(2) e motivare il perchè. Queste sono le mie risposte. Potete dirmi se sto facendo errori? 1-f è derivabile in un punto x0 se il lim destro di x0 = lim sinistro di ...

Ciao! Mi sono imbattuta nella soluzione di Hurwitz del problema isoperimetrico.... Vogliamo dire che la curva che contiene la massima area tra quelle di perimetro assegnato è la circonferenza. Adesso imposto la dimostrazione che sto seguendo e poi vi dico dove ho dei problemi. Consideriamo una curva regolare a tatti di perimetro $L$ e area $F$, la cui rappresentazione parametrica è $x=x(s), y=y(s)$, $s in [0,L)$. Introduciamo il nuovo parametro ...

Ho un grandissimo dubbio sulla risoluzione del problema di Cauchy. Quando risolvo un'equazione differenziale e mi torvo in una situazione del genere: $\int dy/y=\int 2x dx$ Scrivo la soluzione come: $\log y=x^2+c$ $y=e^(x+c)=e^x*e^c$ Dato che $c$ è una costante arbitraria, posso scrivere $e^c$ direttamente come $c$. $y=c*e^x$ Se però devo risolvere un problema di Cauchy, e ho quindi delle condizioni iniziali, il valore di ...

Mi è appena venuta in mente una cosa elementare che non capisco: $d/(dx)(arcsinx)=1/sqrt(1-x^2)$ e $d/(dx)(arccosx)=-1/sqrt(1-x^2)$ $arcsinx=int dx/sqrt(1-x^2) = - int - dx/sqrt(1-x^2) = - arccosx + c$ $=> arcsinx + arccosx = c$ ?!?!?!?!

Salve gente e scusate il disturbo ma ho un problema con la dimostrazione di un limite...il limite è questo $lim_{x \to \+infty}x^alpha={(+infty,if alpha>0),(1,if alpha=0),(0,if alpha<0):}$ poi ci sarebbe per $xto0$ però penso che la dimostrazione sia analoga... Allora io ho iniziato (nel caso di $alpha>0$) con l'uso della definizione quindi $AA k>0$ $EE$ un intorno I di $+infty$ tale che $AA x in$I$uuu$ $RR$ $rarr$ $x^alpha-k

Su $B(H)$ con $H$ di Hilbert, possiamo definire delle topologie definite da famiglie di seminorme su $B(H)$ che determinano una prebase (o una base non ho capito bene), in particolare abbiamo: (1) weak operator norm: le seminorme sono $|A|=|<Ax,y>|$, un intorno dell'origine $W(x_1,...,x_n,y_1,...,y_n,tau_1,...,tau_n)={A in B(H) \quad| \quad |<Ax_i,y_i>|<tau_i \qquad AAi}$ (2) strong operator norm: $|A|=||Ax||$ (3) operator norm: $|A|=||A||$ ad ogni topologia è associata un tipo di convergenza, mi pare di aver capito ...

Buonasera a tutti, mi trovo di fronte all'integrale della seguente funzione: $1/((x-1)^2(3x^2+1))$. All'apparenza mi era sembrato molto semplice, ed infatti ho applicato subito la proprietà dei polinomi scomponendo la funzione precedente con questa: $A/(x^2-2x+1)+B/(3x^2+1)$. Nel proseguire calcolandomi il sistema in cui dovrei ricavarmi A e B mi accorgo che contemporaneamente $B=0$ e $B=-3A$ dove $A=1$la mia ipotesi è che sicuramente ho sbagliato ad interpretare il ...

$limx->0 ((sinx-ln(1+x))/(2x^2))$ mi esce 1/4 è giusto??

Ciao a tutti avrei un'altro problema da esporvi, questa è la serie di cui devo studiare il comportamento: n·arctg(n) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (n^2 + 1)·ln(n^2 + 1) ho fatto il limite ad infinito e mi viene 0 quindi la condizione necessaria a finchè converga c'è (sempre se non ho sbagliato...) stavo pensando al criterio del rapporto ma non mi sembra che porti a qualcosa qualcuno di voi può darmi l'input che mi manca per andare avanti? Grazie tante

Devo studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie: $\sum_{n=1}^infty (e^-(nx)(x+5)^n)/n$ Ho pensato di applicare il criterio della radice quindi $\lim_{n \to \infty} root(n)[((x+5)^n)/(e^(nx)n)]=(x+5)/e^x$ Per $(x+5)/e^x<1$ la serie converge ovvero per $x in ]-oo,-4[ uu ]0,+oo[ Per studiare la convergenza uniforme da quello che ho capito mi conviene studiare la convergenza totale che implica quella uniforme ma come faccio a calcolarmi il sup di questa funzione?

Studiare la convergenza delle successioni di funzioni $(f_n), (g_n)$ definite per $x inRR$ da $f_n(x) = sen nx$ e $g_n(x) = cos nx$ . Sono asolutamente incapace...mi è capitata una prof pessima ed ora ho dovuto iniziare a studiare da sola per l'esame di Analisi 2 e sto incontrando moltissime difficoltà. Potreste spiegarmi come va svolto un esercizio del genere? Grazie.

Salve a tutti, avrei bisogno di una spiegazione sulla derivazione di una composizione di funzioni. La questione è molto semplice: nella formula $D[g(f(x)]=f'(x)*g'(f(x))$, qual è il significato di $g'(f(x))$? Non riesco a capire cosa devo passare come argomento alla funzione $g'$; Inoltre vorrei che mi chiariste un esempio a riguardo: dato $f'(x)=ln(x^2+2)$, dovrebbe essere $f'(x)=2x/(x^2+2)$, ma non ho capito il procedimento per giungere a questo risultato. Se poteste farmi ...

Sono alle prese con la seguente dimostrazione: consideriamo $RR$ con la topologia euclidea. Voglio provare che la $sigma$-algebra di Borel $\mathcal{B}(RR)$ è generata dai chiusi di $RR$. Il mio professore ha attaccato così: consideriamo gli insiemi $Omega_1={sigma-\text{algebre contenenti gli aperti}}$ e $\Omega_2={sigma-\text{algebre contenenti i chiusi}}$. Facciamo vedere che $min\Omega_1$ e $min\Omega_2$: infatti vale che $min\Omega_1=min\Omega_2\iff\Omega_1=\Omega_2$ (esercizio). Ora, l'implicazione "$\Leftarrow$" è banale, in quanto gli ...

Come faccio a distinguare il limite di una funzione dal limite di una successione?? scusate la domanda stupida ma ho delle difficoltà.

Ciao ragazzi, sono nuovo di questo forum. Vorrei chiedervi di risolvermi due dubbi: Uno riguarda questa serie: $(2n^k + e^-2n) /(n^k + e^n)$ Faccio il controllo della serie e penso che il limite che tende ad infinito di quella frazione sia zero, perchè secondo me e^n vale di più come ordine di infinito. La domanda dell esercizio è questa: Per quali valori di k la serie converge. Secondo me, la serie converge per nessun valore reale di k. Voi che ne pensate? Il secondo dubbio, riguarda un ...