Topologie e convergenza in B(H)
Su $B(H)$ con $H$ di Hilbert, possiamo definire delle topologie definite da famiglie di seminorme su $B(H)$ che determinano una prebase (o una base non ho capito bene), in particolare abbiamo:
(1) weak operator norm: le seminorme sono $|A|=||$, un intorno dell'origine $W(x_1,...,x_n,y_1,...,y_n,tau_1,...,tau_n)={A in B(H) \quad| \quad ||
(3) operator norm: $|A|=||A||$
ad ogni topologia è associata un tipo di convergenza, mi pare di aver capito che la convergenza in norma implica la convergenza forte e la convergenza forte implica la debole:
se $A_n->0$ in norma allora $||A_nx||<=||A_n||*||x|| ->0\qquad AAx$ e se $A_n->0$ fortemente allora $||<= ||A_n x||*||y|| ->0$
la convergenza forte non implica la convergenza in norma: data una base ${x_n}$ di $H$ ogni $x in H$ è del tipo $x=sum alpha_n x_n$ la famiglia di applicazioni $A_n(x)=alpha_n x_n$ tende fortemente a zero perchè $||A_n(x)||=||alpha_n x_n||=|alpha_n||->0$ per ogni $x$ in quanto la serie converge, però la norma di ognuno di questi operatori è 1 in quanto $A_n(x_n)=x_n$.
un esercizio mi chiede di dimostrare che l'applicazione $A->A^(**)$ è debolemente continua ma non fortemente continua e questo non so farlo.
è corretto quanto ho detto? qualche osservazione importante sulle topologie che dovrei sapere? come si fa l'esercizio? in effetti non mi è chiaro quali sono gli aperti.
(1) weak operator norm: le seminorme sono $|A|=|
(3) operator norm: $|A|=||A||$
ad ogni topologia è associata un tipo di convergenza, mi pare di aver capito che la convergenza in norma implica la convergenza forte e la convergenza forte implica la debole:
se $A_n->0$ in norma allora $||A_nx||<=||A_n||*||x|| ->0\qquad AAx$ e se $A_n->0$ fortemente allora $|
la convergenza forte non implica la convergenza in norma: data una base ${x_n}$ di $H$ ogni $x in H$ è del tipo $x=sum alpha_n x_n$ la famiglia di applicazioni $A_n(x)=alpha_n x_n$ tende fortemente a zero perchè $||A_n(x)||=||alpha_n x_n||=|alpha_n||->0$ per ogni $x$ in quanto la serie converge, però la norma di ognuno di questi operatori è 1 in quanto $A_n(x_n)=x_n$.
un esercizio mi chiede di dimostrare che l'applicazione $A->A^(**)$ è debolemente continua ma non fortemente continua e questo non so farlo.
è corretto quanto ho detto? qualche osservazione importante sulle topologie che dovrei sapere? come si fa l'esercizio? in effetti non mi è chiaro quali sono gli aperti.
Risposte
Come dicevo recentemente in un altro post sono un po' arrugginito in questi argomenti per cui fare degli errori.
Comunque azzardo che:
1) $A_n\to$ in norma se $||A_n||\to 0$ (cos'altro
) dove posso dire per esempio che $||A||=\sup{||Ax||: ||x||=1}$ (volendo lo posso quindi interpretare come una convergenza
uniforme sulla sfera unitaria, che si tira dietro la convergenza uniforme sui limitati)
2) $A_n\to0$ "strong" se $A_nx\to0$ per ogni $x$ (cioe' la convergenza puntuale)
3) $A_n\to0$ "weak" se $\to 0$ per ogni $x$ e $y$
Se e' cosi' le relazioni tra le convergenze (almeno quelle sequenziali, che peraltro nei casi 2) e 3) non sono tutto) mi sembrano chiare.
Anche per l'esercizio ti do delle indicazioni sulla continuita' sequenziale
La continuita' sequenziale debole di $A\mapsto A^\star$ discende subito dal fatto che, per ogni $x$ e $y$ si ha $ = $. Infatti se $A_n\to0$ (seq. debole)
allora per ogni $x$ e $y$ $\to0$ e quindi $\to 0$.
Per vedere che l'applicazione non e' fortemente continua bisogna trovare un controesempio che ora non mi viene - ci penso un po'.
Comunque azzardo che:
1) $A_n\to$ in norma se $||A_n||\to 0$ (cos'altro
) dove posso dire per esempio che $||A||=\sup{||Ax||: ||x||=1}$ (volendo lo posso quindi interpretare come una convergenza uniforme sulla sfera unitaria, che si tira dietro la convergenza uniforme sui limitati)
2) $A_n\to0$ "strong" se $A_nx\to0$ per ogni $x$ (cioe' la convergenza puntuale)
3) $A_n\to0$ "weak" se $
Se e' cosi' le relazioni tra le convergenze (almeno quelle sequenziali, che peraltro nei casi 2) e 3) non sono tutto) mi sembrano chiare.
Anche per l'esercizio ti do delle indicazioni sulla continuita' sequenziale
La continuita' sequenziale debole di $A\mapsto A^\star$ discende subito dal fatto che, per ogni $x$ e $y$ si ha $
allora per ogni $x$ e $y$ $
Per vedere che l'applicazione non e' fortemente continua bisogna trovare un controesempio che ora non mi viene - ci penso un po'.
Riguardo al controesempio mi pare che si possa considerare
$A_n x:=\sum_{k=1}^{\infty}e_k$, dove gli $e_n$ sono una base ortornormale ($A_n$ e' lo shift a sinistra di $n$ posti) e trovare (credo) che
$A^\star x=\sum_{k=1}^{infty}e_{n+k}$ (shift a destra).
Allora, a occhio,
per $x$ fissato $A_nx\to 0$ (e quindi $A_n$ tende a zero "strong") mentre $||A_n^{\star}x||=||x||$ e quindi $A_n^\star$ non tende a zero "strong" .
Prova a vedere se torna.
$A_n x:=\sum_{k=1}^{\infty}
$A^\star x=\sum_{k=1}^{infty}
Allora, a occhio,
per $x$ fissato $A_nx\to 0$ (e quindi $A_n$ tende a zero "strong") mentre $||A_n^{\star}x||=||x||$ e quindi $A_n^\star$ non tende a zero "strong" .Prova a vedere se torna.
Torna sicuro perchè ricercando nel quaderno degli appunti il professore suggeriva questo controesempio. Grazie!
(hai solo infilato uno strong dove andava un weak, all'interno delle parentesi)
(hai solo infilato uno strong dove andava un weak, all'interno delle parentesi)
Sono contento ...
Riguardo alle topologie mi pare che se hai una famiglia di seminorme $(p_i)_{i\in I}$ questa induce una topologia definendo gli intorni di un generico punto $x$ come
gli insiemi del tipo ${y:p_{i_1}(x-y)<\rho_1,...,p_{i_k}(x-y)<\rho_k}$ al variare di $k$ in $NN$, $(i_1,...,i_k)$ in $I^k$ e $(\rho_1,...,\rho_k)$ in $(0,+\infty)^k$
( a volte riesco ad essere proprio formale ...).
Quindi, per avere una versione topologica delle precedenti relazioni sequenziali tra le topologie, dovresti dimostrare delle inclusioni tra gli intorni.
Sempre che tu lo debba fare.
Riguardo alle topologie mi pare che se hai una famiglia di seminorme $(p_i)_{i\in I}$ questa induce una topologia definendo gli intorni di un generico punto $x$ come
gli insiemi del tipo ${y:p_{i_1}(x-y)<\rho_1,...,p_{i_k}(x-y)<\rho_k}$ al variare di $k$ in $NN$, $(i_1,...,i_k)$ in $I^k$ e $(\rho_1,...,\rho_k)$ in $(0,+\infty)^k$
( a volte riesco ad essere proprio formale ...).
Quindi, per avere una versione topologica delle precedenti relazioni sequenziali tra le topologie, dovresti dimostrare delle inclusioni tra gli intorni.
Sempre che tu lo debba fare.
In effetti non devo farlo solo che io volevo dimostrare la continuità controllando la controimmagine di un aperto, e non mi era proprio chiaro chi erano questi aperti. Sei stato più che esaustivo, vedrò di provare le inclusioni, grazie! (di nuovo)
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