Analisi matematica di base
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Salve, ho un dubbio su un teorema, che il nostro professore di analisi ha citato come "Teorema del differenziale totale", che afferma:
- Sia $f(x,y)$ una funzione in due variabili. Se in un intorno $U$ di un punto $P$ in $R^2$ esistono, continue, le derivate parziali, allora $f$ è differenziabile in $P$.
Ora, mi ritrovo un esercizio che dice:
- Sia $f(x,y)=\{((xy)/(x^2 + y^2),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
In questo caso, si dimostra che ...
Ho provato a dimostrare il teorema che segue e vorrei sapere se ho fatto bene.
Sia $(X,A,mu)$ spazio di misura, $f:[0,T] times X to RR$. Se:
1) $AA t in [0,T] f(t,*):X to RR $ è misurabile
2) Per $mu$-quasi ogni $x in X\ f(*,x):\ [0,T] to RR$ è $C^1$
3) $EE g in L^1(X),\ t_0 in [0,T]$ tale che $AA t in [0,T]\ \ |f(t_0,x)|+|partial/(partialt)f(t,x)|<=g(x)$
Allora la funzione $t \mapsto int_X f(t,x) d mu$ è $C^1$ e la sua derivata é
$t \mapsto int_X partial/(partial t)f(t,x) d mu$
Io ho fatto così:
1) Verifico che la funzione $t \mapsto int_X f(t,x) d mu$ è finita per ogni t ...
salve ragazzi, ho un dubbio su un piccolo caso che non sono riuscito a trovare da nessuna parte, ne su libri, ne su wikipedia, o altro... se ho una funzione di 2 variabili e mi trovo dei punti stazionari, e mi è chiesto di trovarne anche la natura, di solito calcolo le
[size=150]
$f_(xx)<br />
$f_(yy)
$f_(xy)<br />
$f_(yx)[/size]
e costruisco la matrice hessiana, dopodichè in base al determinante ne capisco la natura. ma nel caso in cui il determinante fosse nullo (o la matrice sia ...
Ho un esercizio che chiede di calcolare la primitiva di una forma differenziale.
Fin qui non ci sono problemi: integro rispetto ad $x$, trovo la costante $c(y)$ e ottengo una primitiva valida.
Il problema sta nel secondo punto dell'esercizio:
"Si calcoli, se possibile, la primitva nulla nel punto $(1,1)$".
Che significa calcolare la primitiva nulla? Che è $=0$? Ma allora che c'è da calcolare, devo fare una verifica?
La forma differenziale è ...
Data una successione ${a_n}_{n\in \NN}$ monotona decrescente a zero. E' sempre possibile estrarre una sottosuccessoione ${a_{n_k}}_{k\in NN}$ tale che:
$\sum_{k=0}^{\infty} a_{n_k}< \infty$?
(La domanda è scaturita dalla lettura di un post sulle serie dei reciproci dei numeri primi ) .
Intuitivamente la risposta che mi verrebbe da dare è sì. Purtroppo (o per fortuna) la matematica pretende qualcosina in più dell'intuito
mi servirebbe questo risultato (che so essere vero in quanto mi ricordo un post vecchio su questo argomento che però ora non trovo più) che non so come dimostrare (quindi anche solo un'idea sulla dimostrazione, sono troppo ignorante per quanto riguarda le distribuzioni dei numeri primi):
$sum_{p\in P}1/p<+oo$ dove $P$ indica l'insieme dei numeri primi.
ps questo problema fa nascere la questione: quanta "roba" è necessario levare dalla serie armonica affinchè converga?(ma ...
salve,
ho i seguenti integrali.
posto qui il procedimento che ho fatto io,
ma tramite il quale non sono riuscito a concludere con successo l'esercizio.
spero possiate gentilmente aiutarmi.
ecco il primo integrale:
$\int (x)/(2x^2+x+1)*dx$
Risultato $log root(4)(2x^2+x+1)-1/(2*sqrt(7))*arctg((4x+1)/(sqrt(7)))+c.$
caso con $\Delta < 0$ e denominatore di 2° grado.
derivata del denominatore: $2x+1$
procedimento:
$1/2*\int (2x+1-1)/(2x^2+x+1)*dx$
$1/2(\int (2x+1)/(2x^2+x+1)*dx - \int (1)/(2x^2+x+1)*dx)$
se il procedimento fin qui è giusto
quindi il primo è un ...
Salve a tutti,
avrei un dubbio sulla risoluzione dell'integrale doppio:
$\int\int_D x dxdy $ dove D è il triangolo di vertici (1,1) (2,3) (3,2).
Secondo voi mi conviene utilizzare le formule di Gauss-Green oppure posso risolverlo in altro modo?
Grazie
Salve a tutti; ecco la mia bella funzione integrale: $G(x)=int_(0)^(x^3) e^(-t)/sqrt(t+1)$.Ora nell'esercizio il mio prof mi chiede di tracciarne un grafico qualitativo.Ora il domino mi risulta essere $[-1,+\infty[$; ora quando devo determinare il valore della funzione $G(-1)$ ottengo un integrale generalizzato; in quanto la funzione integranda risulta nn limitata; quindi ho già verificato che questo limite esiste finito;tramite il confronto asintotico.Ora il mio prof nella spiegazione scrive: ...
Forse è banale ma come faccio a dimostrare che l'insieme:
$K={f in C^0[0,1]: int_0^(1/2)f(t)dt-int_(1/2)^1f(t)dt=1}$
é chiuso in
$(C^0[0,1],||*||_infty)$
$(C^0[0,1],||*||_2)$
???
Nota: Io ho dimostrato che l'analogo sottinsieme di $L^2[0,1]$ definito dalla stessa relazione tra integrali è chiuso, e l'ho fatto scrivendolo come la preimmagine di 1 tramite prodotto scalare (fz continua) di $L^2$: $(*,chi)$ dove $chi$ è la funzione fissata $chi=chi_{\[0,1/2\] }-chi_{\[1/2,1\]}$, queste ultime funzioni indicatrici dei ...
Ho provato a calcolare il lim di x che tende a 0 di:
(Devo usare i limiti notevoli)
$(x^2-|x|)/(sen^2(3x))$
Essendo una forma indeterminata di 0/0 ho cercato di ricondurmi al noto limite notevole:
$(senx)/x = 1$ per x che tende a 0.
Dovrei calcolare sia il limite destro che sinistro dallo 0 perchè c'è il modulo,ma ho notato che facendo:
$(x^2 - x) * ((sen^-2(3x))/(3x)) * 3x$
ottengo 0 * 1 * 0 e quindi il limite è 0 sia per 0+ che per 0-.
E' giusto questo ragionamento o sto sbagliando qualcosa nei ...
Buonasera a tutti... Dando un' occhiata ai Temi d' Esame usciti gli anni scorsi ad Analisi 2, mi sono imbattuto in quest' esercizio:
Dopo averne giustificato l’esistenza, si determinino massimo e minimo della funzione $f (x, y) = 3*sqrt(xy)$, nell’insieme chiuso D nel primo quadrante del piano delimitato dall’asse x, dall’asse y e dalla linea $f(x,y)= x^2y + y^2 + x = 3$
Ora, partendo da una ricerca di estremi liberi interni al Dominio, calcolo il Gradiente: ${(del f(x,y))/(del x)= 3sqrt(y)/(2sqrt(x)) ; (del f(x,y))/(del y)=3sqrt(x)/(2sqrt(y))}$ . La prima equazione, mi ...
Devo dimostrare questo fatto: Dato $A in B(H)$ con $H$ di Hilbert (complesso) e $q_A(v)=<Av,v>$ vale:
$A$ è autoaggiunto $iff$ $q_A(v) in RR\qquad AAv in H$
non so fare il verso $\Leftarrow$ ho provato utilizzando l'identità di polarizzazione per ricavare $<Av,w>$, non sono riuscito a cavarne niente. Qualche suggerimento?
Salve a tutti,
volevo chiedervi se e dove posso trovare la dimostrazione che l'operatore
$A=\frac(\partial^(2) )(\partial x^(2))+\frac(\partial^(2) )(\partial y^(2))$
appartiene a $G(M,\beta,X)$
Dove $D(A)={f: f\in X, Af \in X, \frac(\partial f)(\partial x)(0,y)= \frac(\partial f)(\partial x)(1,y)=\frac(\partial f)(\partial x)(x,0)=\frac(\partial f)(\partial x)(x,1)=0}$
Ovviamente non mi aspetto esista per questo caso specifico, mi basta qualcosa di simile tanto per capire come ragionare per effettuare la dimostrazione.
Grazie per ogni suggerimento.
Salve, ho un problema con una serie di potenze.
$\sum(-1)^n*nx^n$
Se provo a calcolare il raggio di convergenza con il criterio della radice, ottengo:
$\lim ((-1)^n*n)^(1/n)=\lim(-1*n^(1/n))=-1*1=-1$
Com'è possibile che il raggio di convergenza sia negativo?
Provando a calcolare il raggio con il criterio del rapporto viene comunque $-1$...
Grazie.
Dunque ho un dubbio su questo esercizio:
il $lim_(x->0^+)$
di $x^2/(cos(sqrt(x))- e^(-x/2))$
io l'avevo risolto cominciando a notare che $e^(-x/2)=1$ e poi usando il limite notevole del coseno...invece la corretta risoluzione è applicare taylor.
Il ragionamento che ho fatto invece sarebbe stato valido se avessi avuto invece lim -> 0, giusto?
salve,
ho problemi con i seguenti integrali per sostituzione:
posto qui il mio procedimento.
spero possiate cortesemente darmi una mano nel procedere.
ecco il primo:
$\int x root(3)(2-x) dx$
Risultato: $-(9+6x)/(14)*(2-x)root(3)(2-x)+c$
pongo $2-x = t^3$
ricavo x $x=-t^3+2$
e differenzio
$dx = -3t^2*dt$
$\int (-t^3+2)t-3t^2dt =$
$-3\int (-t^3+2)t^3dt =$
e poi?
mentre l'altro integrale è:
$\int (sqrt(1-x^2))/(x^2)dx$
Risultato: $-1/x sqrt(1-x^2)-arcsinx+c$
ho posto: $x = sint$
differenzio: ...
Vorrei provare a trovare il dominio e i limiti agli estremi di queste funzioni:
$root(3)(x) e^(-x^2)$
Qui penso che il dominio sia tutto R perchè nella radice si deve imporre il radicando >= 0 solo quando c'è un indice pari.
La parte esponenziale non mi sembra influire perchè è definita su tutto R.
Quindi i limiti agli estremi si fanno per - e + infinito e sono + infinito entrambi.
$(3 - x^2) e^-x$
Il dominio dovrebbe essere tutto R e i limiti agli estremi + e - infinito sono + ...
Ciao ragazzi!
non essendo un'esperta di analisi matematica (anzi) vorrei chiedervi questa cosa, che a me non torna (diciamo per l'intuizione).
ad una lezione non tanto matematica il mio prof scrisse:
$psi:=f(x,y)$
$nabla^2 psi=-2$
$psi=0$ sul bordo esterno
$psi=Cost i$ sulle lacune interne (dove i = n.lacuna)
poi praticamente arriva all'integrale $int_{A}psi dA$: A è il dominio su quale è defenita la $psi$
dunque, una volta arrivato a questo ...
vorrei almeno un suggerimento riguardo la convergenza semplice e uniforme della seguente serie di funzioni. Io non riesco a fare neanche un primo passo. Essendo un estremo dell'integrale infinito non posso usare il T di lagrange e neanche quello della media. Pensavo che la strada migliore sarebbe stata quella della maggiorazione ma non riesco neanche così.
$sum_{n=1}^oo x^n \int_{x}^oo e^{-ny^2} dy$
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