Dubbio atroce su equazioni differenziali 2°ordine
Ciao a tutti!
ho bisogno del vostro aiuto su un dubbio atroce che mi è venuto sfogliando gli appunti di fisica del reattore...
l'equazione non è nulla di che, ma il prof ci ha dato due diverse soluzioni per la stessa equazione.
$(del^2F(x))/(delx^2) + a^2*F(x) =0$
Questa è l'equazione della diffusione..ed è pure omogenea! Ve l'ho scritta senza alcuni coefficienti ma non sono quelli a cambiarne il senso, dato che non c'è nulla di immaginario.
Nel caso pero si soluzione in un mezzo finito, il coefficiente a può essere o meno negativo e l'equazione viene risolta cosi:
$F(x)=A*cos(a*x) + B*sen(a*x)$
A e B sono le costanti che poi si calcolano con le condizioni al contorno...
Nel caso di mezzo infinito il coefficiente a è sempre preceduto dal meno, e la stessa equazione a meno di qualche altro coefficiente viene risolta cosi:
$F(x)= A*e^(-x/a) + B*e^(x/a)$
che è il metodo che ho imparato nei corsi di analisi.
Detto ciò, come è possibile che si possa risolvere in un modo o nell'altro? io ricordavo che da esponenziale a seno e coseno si poteva passare se c'era in gioco l'unità immaginaria.
Grazie in anticipo, ragazzi!
ho bisogno del vostro aiuto su un dubbio atroce che mi è venuto sfogliando gli appunti di fisica del reattore...
l'equazione non è nulla di che, ma il prof ci ha dato due diverse soluzioni per la stessa equazione.
$(del^2F(x))/(delx^2) + a^2*F(x) =0$
Questa è l'equazione della diffusione..ed è pure omogenea! Ve l'ho scritta senza alcuni coefficienti ma non sono quelli a cambiarne il senso, dato che non c'è nulla di immaginario.
Nel caso pero si soluzione in un mezzo finito, il coefficiente a può essere o meno negativo e l'equazione viene risolta cosi:
$F(x)=A*cos(a*x) + B*sen(a*x)$
A e B sono le costanti che poi si calcolano con le condizioni al contorno...
Nel caso di mezzo infinito il coefficiente a è sempre preceduto dal meno, e la stessa equazione a meno di qualche altro coefficiente viene risolta cosi:
$F(x)= A*e^(-x/a) + B*e^(x/a)$
che è il metodo che ho imparato nei corsi di analisi.
Detto ciò, come è possibile che si possa risolvere in un modo o nell'altro? io ricordavo che da esponenziale a seno e coseno si poteva passare se c'era in gioco l'unità immaginaria.
Grazie in anticipo, ragazzi!
Risposte
Gli esponenziali escono se hai $F''-a^2F=0$, il che è naturale visto che il polinomio caratteristico associato all'equazione è $lambda^2-a^2=(lambda-a)(lambda +a)$ cosicché l'eq. caratteristica ha due radici reali.
Le funzioni trigonometriche escono fuori se hai, appunto, $F''+a^2F=0$ (tieni presente che $a^2>=0$, anche se $a<0$), il che è altrettanto naturale perchè il polinomio caratteristico è $lambda^2+a^2=(lambda-a"i")(lambda+a"i")$ e l'equazione caratteristica ha due soluzioni complesse coniugate.
Le funzioni trigonometriche escono fuori se hai, appunto, $F''+a^2F=0$ (tieni presente che $a^2>=0$, anche se $a<0$), il che è altrettanto naturale perchè il polinomio caratteristico è $lambda^2+a^2=(lambda-a"i")(lambda+a"i")$ e l'equazione caratteristica ha due soluzioni complesse coniugate.
Ottimo! non ci avevo proprio pensato anche perchè ormai le risolvo meccanicamente senza più passare dal calcolo delle radici...
Quindi, vediamo se ho capito...da quello che dici io scrivo comunque la somma degli esponenziali, però all'esponente ci sarà $-ai*x$ e il suo coniugato:
$F(x)= A*e^(-iax) + B*e^(iax)$
e questo punto sì che posso applicare eulero, però mi sorge un altro problema:
$F(x)= A*(cos(-ax) + i*sen(-ax)) + B*(cos(ax) + i*sen(ax))$
come faccio ad arrivare alla soluzione che ho scritto sopra? i termini $i*sen...$ non ci sono, ma se risolvo come ho scritto ora compaiono e non si cancellano a vicenda dato che ci sono A e B davanti...
Quindi, vediamo se ho capito...da quello che dici io scrivo comunque la somma degli esponenziali, però all'esponente ci sarà $-ai*x$ e il suo coniugato:
$F(x)= A*e^(-iax) + B*e^(iax)$
e questo punto sì che posso applicare eulero, però mi sorge un altro problema:
$F(x)= A*(cos(-ax) + i*sen(-ax)) + B*(cos(ax) + i*sen(ax))$
come faccio ad arrivare alla soluzione che ho scritto sopra? i termini $i*sen...$ non ci sono, ma se risolvo come ho scritto ora compaiono e non si cancellano a vicenda dato che ci sono A e B davanti...
Tieni presente che se $F_1,F_2$ sono soluzioni complesse indipendenti della tue equazione, allora anche $Phi_1=(F_1+F_2)/2,Phi_2=(F_1-F_2)/(2"i")$ sono soluzioni indipendenti dell'equazione (poiché essa è lineare); quindi l'integrale generale lo puoi anche scrivere come $APhi_1+BPhi_2$.
Ora, se prendi $F_1(x)="e"^(a" i"), F_2(x)="e"^(-a" i")$ che esce fuori da $Phi_1,Phi_2$?
Un ripassino di Analisi II non ti farebbe male.
Ora, se prendi $F_1(x)="e"^(a" i"), F_2(x)="e"^(-a" i")$ che esce fuori da $Phi_1,Phi_2$?
Un ripassino di Analisi II non ti farebbe male.
eheh...ora ho capito!
Giuro che se domani passo lo scritto (dove per fortuna questi ragionamenti non è necessario farli), ripasso analisi per l'orale!
E comunque nella tua firma hai decisamente ragione...c'è voluta fisica dei reattori per farmi capire cose che il prof di analisi 2 faceva piovere dall'alto senza commentarle...
Grazie mille!
Giuro che se domani passo lo scritto (dove per fortuna questi ragionamenti non è necessario farli), ripasso analisi per l'orale!
E comunque nella tua firma hai decisamente ragione...c'è voluta fisica dei reattori per farmi capire cose che il prof di analisi 2 faceva piovere dall'alto senza commentarle...
Grazie mille!
Curiosità: studi un'ingegneria di qualche genere, vero?
P.S. per i futuri ingegneri: ricordate che a una lezione di Analisi si partecipa!
Non è il professore a dover sempre spiegare tutto, siete anche un po' voi a dover fare domande e a chiedere il senso ("fisico" e non) dei teoremi e/o delle nozioni che vi vengono insegnate; dopotutto siete all'università, mica alle medie?
P.S. per i futuri ingegneri: ricordate che a una lezione di Analisi si partecipa!
Non è il professore a dover sempre spiegare tutto, siete anche un po' voi a dover fare domande e a chiedere il senso ("fisico" e non) dei teoremi e/o delle nozioni che vi vengono insegnate; dopotutto siete all'università, mica alle medie?
si, faccio ingegneria energetica....
è hai ragione pure a dire che gli ingegneri devono sapere bene l'analisi...con il trasporto del calore e questa altra materia ho avuto seri problemi con certi passaggi proprio perchè le mie conoscenze della matematica si fermano soprattutto ad analisi 1 e geometria.
Però conta che non tutti i professori sono capaci a darti una spiegazione comprensibile di un certo argomento...ricordo ancora quando andai dalla prof di analisi 2 a chiederle una spiegazione su un qualche esercizio riguardo agli integrali curvilinei. Lei non mi seppe rispondere in termini comprensibili...
dovetti poi aspettare che il porf di termodinamica spiegasse le varie trasformazioni par capire quello che mi serviva...
è hai ragione pure a dire che gli ingegneri devono sapere bene l'analisi...con il trasporto del calore e questa altra materia ho avuto seri problemi con certi passaggi proprio perchè le mie conoscenze della matematica si fermano soprattutto ad analisi 1 e geometria.
Però conta che non tutti i professori sono capaci a darti una spiegazione comprensibile di un certo argomento...ricordo ancora quando andai dalla prof di analisi 2 a chiederle una spiegazione su un qualche esercizio riguardo agli integrali curvilinei. Lei non mi seppe rispondere in termini comprensibili...
dovetti poi aspettare che il porf di termodinamica spiegasse le varie trasformazioni par capire quello che mi serviva...
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