Analisi matematica di base
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Sia \( f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \) una serie complessa convergente con raggio di convergenza \(R \). Sia \( n \in \mathbb{N} \), e \( j \in \{0,\ldots,n-1\} \).Dimostra che per \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} < R \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{j+kn}z^{j+kn} = \frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}f(e^{-\frac{2 \pi i}{n}u}z) \]
In quanto abbiamo che \( \begin{vmatrix}e^{-\frac{2 \pi i}{n}u} \end{vmatrix} = 1 \) abbiamo che \( ...
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Studente Anonimo
3 ott 2019, 11:48
Scusate la domanda forse banale ma non riesco a capire questo passaggio.
Ho due variabili $x,y=\mathbb(1)_{(0,1)}(\cdot)$ e un integrale doppio $\int_(0)^(1)\int_(0)^(1)g(xy)dxdy$, con $g$ funzione qualsiasi.
Applico la trasformazione $\tau:={ ( x=u ),( v=xy ):}$ con $dxdy:=1/u dudv$. Bene.
Perchè a seguito di ciò il dominio di $u$ resta (ovviamente) $0<u<1$ mentre quello di $v$ diventa $0<v<u$?
Credo che riuscendo a capire questo, probabilmente verrei a capo del passaggio ...
Buonasera,
nello svolgere un esercizio di fisica mi sono imbattuto in un integrale che si risolve banalmente facendo delle osservazioni ma che mi dà qualche problema se voglio seguire tutti i passaggi "rigorosamente".
Il problema dice che c'è una superficie metallica conica con angolo di semi-apertura $\theta_0$ su cui scorre una densità di corrente superficiale costante $\vec{J}_s$. Supponendo che l'asse del cono coincida con l'asse z e che il vertice del cono sia nell'origine, ...
Prova per induzione di $\sum_{k=n+1}^(2n) (2k-1)=3^n$
Non riesco a capire come esprimere P(n+1) e come esprimere P(n+1) con Pn. Potrei avere tutti e 3 i passaggi dell'induzione?
Non so proprio da dove cominciare...
Sia $f:RR->RR$ tale che $f(0)=1$ e $f'(0)=1$ e $f''(0)=3$ e sia $g(x)=f(x)-e^x$.
Stabilire il comportamento della serie $\sum_{n=1}^(+infty) g(n^-\alpha)$, al variare di $\alpha >0$. Se convergente, stabilire se la convergenza è assoluto o meno.
grazie per l'aiuto
Ciao a tutti ho dei dubbi su questo esercizio sugli spazi metrici...
In $RR$ dotato della metrica euclidea siano
$E_n={x in QQ: (n/(n+1))^n<= |x|<((n+1)/n)^n}$ con $n in NN, n>=1$
Detti $E=uuu_(n>=1) E_n$, $F=nnn_(n>=1) E_n$, allora
esprimere $E$ ed $F$ e i punti interni, derivato e frontiera per ognuno.
Ora, per i limite notevole la disuguaglianza si riconduce a $e$ se non erro
Ciao ho questa dimostrazione che io ho provato a risolvere
Sia $f:[2, +infty]->RR$ continua e derivabile in $(2, +infty)$ con $lim_(x->+infty) =f(2)$. Mostrare che esiste $c in (2, +infty)$ tale che $f'(c)=0$.
Ora io avevo assunto che il limite esisteva per Weierstrass e quindi ammetteva massimo e minimo e così erano soddisfatte le condizione del teorema di fermat. Il professore però non me l'ha valutata completamente esatta... il teorema di Weierstrass vale se l'insieme di partenza è ...
Buongiorno a tutti.
Ho letto che il teorema di Bolzano-Weierstrass (da ogni successione limitata è possibile estrarre una sottosuccessione convergente) vale in ogni spazio vettoriale $V$ finito dimensionale (sul campo dei reali o dei complessi).
La mia domanda è: il teorema vale per $V$ [highlight]munito di una qualsiasi metrica $d$[/highlight]?
Mi spiego meglio.
Se $V$ è munito con una qualsiasi metrica $d$ indotta da una ...
Sia \( f: U \to \mathbb{C} \) una funzione \( \mathcal{C}^1 \). Dimostra che \( f \) è olomorfa se e solo se \( \bar{\partial}f(z)=0 \) per ogni \( z \in U \) e che in questo caso \( f'(z) = \partial f(z) \)
Sia \( f: U \to V \) una funzione biietiva e olomorfa,dimostra che se \(f' \) non si annulla su \(V\) allora la funzione inversa \(f^{-1} \) è olomorfa.
Avrei solo due domandine, la prima l'ho svolta in questo modo
Se \( \bar{\partial}f(z)=0 \) allora \(\frac{1}{2}(\partial_1f + i ...
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Studente Anonimo
3 ott 2019, 11:05
Domanda 5 Per x > 0 sia f(x) = xlog x. Allora
A) $ f(x) = e^((log x)^2) $
B) $ f(x) = e^((log x)^log x) $
C) $ f(x) = e^(2(log x)) $
D) $ f(x) = e^(2+log x) $
Domanda 6 Sia A = {x ∈R : |x|+ 1 < 2−x2}. L’insieme A
A) è limitato
B) non è limitato né inferiormente né superiormente
C) è limitato inferiormente ma non superiormente
D) è limitato superiormente ma non inferiormente
Per la domanda 5) stavo pensando di iniziare mettendo $ e^(logx) = y $ , per la domanda 6 invece, non mi viene in mente niente.
Dimostra che
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n\phi}{n} = - \log \begin{vmatrix} 2 \sin \frac{\phi}{2} \end{vmatrix}\]
con \(0 < \begin{vmatrix} \phi \end{vmatrix}< \pi \)
Io ho pensato di utilizzare questo: \( \cos n \phi = \frac{e^{in\phi}+ e^{-in\phi}}{2} \)
Il primo dubbio, posso spezzare così la serie? No vero?
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in\phi}+ e^{-in\phi}}{2n} =?? \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in\phi}}{2n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-in\phi}}{2n} \] ...
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Studente Anonimo
28 set 2019, 19:38
Salve, ancora problemi con le convergenze e calcoli di integrali impropri.
Ho da calcolare convergenza e suo valore dell'integrale
$\int_{0}^{+oo} (x/(1+x^3)) dx $
Ho verificato che la funzione è continua nell'intervallo di integrazione, quindi essa è anche localmente integrabile. Inoltre essa è positiva nel suo intervallo di integrazione (anche se non ho capito cosa dovrei fare se non fosse così per qualche numero nell'intervallo ).
Il testo dice "La funzione integranda è continua in ...
1) Dimostra che se \[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(z-z_*)^k \] è una serie intera di raggio di convergenza \( \rho >0 \), allora converge normalmente in tutti i \( z \in D(z_*,\rho) \) e diverge per tutti i \( z \in \mathbb{C} \setminus \bar{D}(z_*, \rho) \)
2)
2.0) Dimostra il lemma di Abel: se
\[ \sup\limits_{k \in \mathbb{N}} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \rho^k < \infty \]
per \( \rho \in (0,\infty) \), allora \( \sum\limits_k a_k z^k \) converge uniformemente su tutti i sottoinsiemi ...
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Studente Anonimo
26 set 2019, 17:33
Salve, scusatemi se sbaglio qualcosa nella creazione del post ma è la mia prima volta su questo sito. Sono qui per chiedervi aiuto a riguardo di una dimostrazione vista al corso di analisi 1: mi riferisco alla dimostrazione della disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Ne sono presenti numerose on-line, ma il mio professore la esige sfruttando la disuguaglianza di Bernulli. Spero possiate aiutarmi, vi ringrazio in anticipo e mi scuso ulteriormente per la mia negligenza nel ...
buongiorno,
ho cercato in lungo e in largo una possibile soluzione al mio problema senza trovare risposta.
si tratta di un limite come dice il titolo, di cui conosco già il risultato, in particolare esiste e vale zero.
il limite e' il seguente:
$lim_{|(x , y)| \to \infty}(x^2*y)/(1+x^4+y^6)$
ho provato a passare in coordinate polari, ma non sono riuscito a trovare una funzione che fosse funzione solo del modulo r.
$(r^3*cos(\theta)*sin(\theta))/(1+r^4*cos(\theta^4)+r^6*sin(\theta)^6)$
in particolare ho fatto le seguenti ...
Data la serie \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-3)^n}{1+n^2} \) determinare se converge, diverge o è indeterminata.
Sto provando diversi metodi, ma non riesco a venirne fuori.
Non posso utilizzare nè il criterio della radice nè quello del rapporto poichè questi ultimi esigono che la serie sia a termini positivi.
Se considero la serie dei moduli esce fuori che la serie diverge, e allora non posso concludere nulla.
Non posso usare il criterio di Leibniz poichè la successione ...
$ int int int_(V)^() xdv $ dove$ V={(x,y,z): x>=sqrt(y^2+z^2), 0<=x<=1)}$
1)$ 2pi $
2)$ 3pi $
3)$ pi $
4)$ 4pi $
svolgimento:
$ int_(0)^(1) x dx(int int_(x>=sqrt(y^2+z^2)) dy dz )= $
passo alle coordinate polari:
$ { ( y=rhocosvartheta ),( z=rhosinvartheta ):} rho>=0; 0<=vartheta<=2pi$
sostituendo ottengo:
$ int_(0)^(1) dy(int_(0)^(2pi)dvarthetaint_( )^( )rhocosvartheta drho)= $
la procedura è corretta?
come trovo gli estremi di integrazione (?) di$ drho ?$
grazie!
$ int(9xy^2dy-4yx^2dx) $ lungo la curva $ x^2/9+y^2/4=1 $
soluzioni proposte:
1)36 $ pi $
2)72$ pi $
3)9$ pi $
4)108$ pi $
la curva rappresenta un ellisse con A=-3 B=3 C=2 D=-2
vado a studiare soltanto il primo quadrante ed ottengo:
$ { ( 0<=x<= 3),(0<= y<=3-2/3x ):} $
$ -int_(0)^(3)4yx^2dx int_(0)^(2-2/3x) 9xy^2dy $
l'impostazione è corretta?
Grazie
Avrei una domanda sul modo in cui ho svolto il seguente esercizio, sia \( z \in \mathbb{C} \) tale che \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} < 1 \), calcola la seguente serie di potenze complessa.
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{2n+1} \]
La mia domanda è sull'integrazione complessa, nessuno ci ha ancora spiegato se valgono le stesse regole di calcolo o meno. Presumo di sì, però mi domandavo se è leggittimo integrare come se avessi una variabile reale, o se devo spezzare e integrare ...
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Studente Anonimo
28 set 2019, 18:50
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