Integrale improprio
Salve, ancora problemi con le convergenze e calcoli di integrali impropri. 
Ho da calcolare convergenza e suo valore dell'integrale
$\int_{0}^{+oo} (x/(1+x^3)) dx $
Ho verificato che la funzione è continua nell'intervallo di integrazione, quindi essa è anche localmente integrabile. Inoltre essa è positiva nel suo intervallo di integrazione (anche se non ho capito cosa dovrei fare se non fosse così per qualche numero nell'intervallo
).
Il testo dice "La funzione integranda è continua in $[0,+oo)$ ed è infinitesima all’infinito come a $1/x^2$, quindi l’integrale di partenza converge", ma non ho sinceramente idea di cosa faccia, come già avevo cercato di capire in altri topic senza molto successo.
Quindi decido di fare a modo mio prendendo la funzione che usa come confronto come spunto..
Decido di verificare la convergenza utilizzando il criterio del confronto e riconducendomi a una funzione
$g(x)=1/x^2>=f(x)>=0 $ per ogni $x \in [0,+oo)$
Quindi vedo se l'integrale di $g(x)$ converge.
Esso presenta una doppia improprietà e quindi lo divido.
$\int_{0}^{+oo} (1/x^2) dx = \int_{0}^{10} (1/x^2) dx + \int_{10}^{+oo} (1/x^2) dx$
E a questo punto studio i due integrali separatamente. Se non erro (ricordatemi in base a quale teorema per favore), la serie di partenza converge se convergono entrambe quelle sommate, e diverge se almeno una diverge.
Per il primo ho:
$\int_{0}^{10} (1/x^2) dx = lim_(E->0^+) \int_{0+E}^{10} (x^-2) dx = -1/10 - lim_(E->0^+)(-1/E) = +oo$
Tuttavia dovrei avere che l'integrale di partenza converge, mentre qui la prima parte del secondo già diverge.
Ho da calcolare convergenza e suo valore dell'integrale
$\int_{0}^{+oo} (x/(1+x^3)) dx $
Ho verificato che la funzione è continua nell'intervallo di integrazione, quindi essa è anche localmente integrabile. Inoltre essa è positiva nel suo intervallo di integrazione (anche se non ho capito cosa dovrei fare se non fosse così per qualche numero nell'intervallo
).Il testo dice "La funzione integranda è continua in $[0,+oo)$ ed è infinitesima all’infinito come a $1/x^2$, quindi l’integrale di partenza converge", ma non ho sinceramente idea di cosa faccia, come già avevo cercato di capire in altri topic senza molto successo.
Quindi decido di fare a modo mio prendendo la funzione che usa come confronto come spunto..
Decido di verificare la convergenza utilizzando il criterio del confronto e riconducendomi a una funzione
$g(x)=1/x^2>=f(x)>=0 $ per ogni $x \in [0,+oo)$
Quindi vedo se l'integrale di $g(x)$ converge.
Esso presenta una doppia improprietà e quindi lo divido.
$\int_{0}^{+oo} (1/x^2) dx = \int_{0}^{10} (1/x^2) dx + \int_{10}^{+oo} (1/x^2) dx$
E a questo punto studio i due integrali separatamente. Se non erro (ricordatemi in base a quale teorema per favore), la serie di partenza converge se convergono entrambe quelle sommate, e diverge se almeno una diverge.
Per il primo ho:
$\int_{0}^{10} (1/x^2) dx = lim_(E->0^+) \int_{0+E}^{10} (x^-2) dx = -1/10 - lim_(E->0^+)(-1/E) = +oo$
Tuttavia dovrei avere che l'integrale di partenza converge, mentre qui la prima parte del secondo già diverge.
Risposte
Hai fatto bene, a te interessa il comportamento dell'integrale all'infinito, non per $x=0$, quindi la maggiorazione con $g(x)$ puoi farla solo in $(10,+\infty)$, sapendo che l'integrale di $f(x)$ è ben definito in $(0,10)$.
"onlynose":
Hai fatto bene, a te interessa il comportamento dell'integrale all'infinito, non per $x=0$, quindi la maggiorazione con $g(x)$ puoi farla solo in $(10,+\infty)$, sapendo che l'integrale di $f(x)$ è ben definito in $(0,10)$.
Come è possibile? Dato che l'integrale in $[0,10]$ di $g(x)$ diverge, allora se almeno una delle due parti diverge l'integrale di partenza di $g(x)$ dovrebbe anch'esso divergere. Dopotutto la prima parte diverge anche usando il limite da destra a 0.
Se ad esempio dovessi calcolare l'area dell'integrale di $g(x)$, se considerassi solo la parte destra allora potrebbe essere finita, ma così sottrarrei l'area a sinistra che è invece infinita e il risultato non solo sarebbe diverso ma sarebbe un numero finito al posto che infinito.
\[ \int_0^\infty f(x)dx=\int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty f(x)dx\le \int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty g(x)dx \]\[ \int_0^\infty f(x)dx=\int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty f(x)dx\le \int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty g(x)dx \]Posto $f(x)=(\frac{x}{1+x^3})$ abbiamo che
$$\int_0^\infty f(x)dx=\int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty f(x)dx$$
Adesso $f(x)$ è continua in $[0,10]$ (e dunque limitata, essendo compatto) dunque integrabile in tale intervallo.
Mentre in $(10,\infty)$ puoi fare la maggiorazione che hai fatto tu con $g(x)=x^{-2}$.
Ne viene che
$$\int_0^\infty f(x)dx=\int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty f(x)dx\le \int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty g(x)dx$$
$$\int_0^\infty f(x)dx=\int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty f(x)dx$$
Adesso $f(x)$ è continua in $[0,10]$ (e dunque limitata, essendo compatto) dunque integrabile in tale intervallo.
Mentre in $(10,\infty)$ puoi fare la maggiorazione che hai fatto tu con $g(x)=x^{-2}$.
Ne viene che
$$\int_0^\infty f(x)dx=\int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty f(x)dx\le \int_0^{10} f(x)dx+\int_{10}^\infty g(x)dx$$
Non trovo il senso nel fare così però. Il motivo per cui ho sostituito $g(x)$ a $f(x)$ è per evitare di calcolare la convergenza integrando $f(x)$ integrando una funzione più semplice. Se devo comunque integrare $f(x)$ per il primo intervallo allora ciò perde di ogni significato.
Inoltre non capisco da dove esce quella disuguaglianza.
Per ultimo, resta comunque il fatto che nessuno mi vieta di sostituire $g(x)$ in tutto l'intervallo e in quel caso si avrebbe che l'integrale di $g(x)$ divergerebbe...
Non solo. Infatti basta usare la tabella degli integrali impropri notevoli per vedere che l'integrale di $g(x)$ diverge...
Tuttavia assodato che l'integrale di $g(x)$ diverge non posso dire nulla sul carattere dell'integrale di $f(x)$....
Inoltre non capisco da dove esce quella disuguaglianza.
Per ultimo, resta comunque il fatto che nessuno mi vieta di sostituire $g(x)$ in tutto l'intervallo e in quel caso si avrebbe che l'integrale di $g(x)$ divergerebbe...
Non solo. Infatti basta usare la tabella degli integrali impropri notevoli per vedere che l'integrale di $g(x)$ diverge...
Tuttavia assodato che l'integrale di $g(x)$ diverge non posso dire nulla sul carattere dell'integrale di $f(x)$....
La formula che ti ho dato segue dalla monotonia dell'integrale:
$f(x)\le g(x)$ implica $\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)$. Dunque sapendo che $\int_0^{10}f(x)dx$ è un numero reale finito e che $\int_{10}^{infty}g(x)dx$ converge, puoi dire che $\int_0^\infty f(x)dx$ converge maggiorato da un valore reale.
Per calcolare il valore esatto dell'integrale ti devi armare di pazienza e scomporti la frazione e ridurti a degli integrali notevoli.
$f(x)\le g(x)$ implica $\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)$. Dunque sapendo che $\int_0^{10}f(x)dx$ è un numero reale finito e che $\int_{10}^{infty}g(x)dx$ converge, puoi dire che $\int_0^\infty f(x)dx$ converge maggiorato da un valore reale.
Per calcolare il valore esatto dell'integrale ti devi armare di pazienza e scomporti la frazione e ridurti a degli integrali notevoli.
Il punto dove sbagli è che il tuo integrale non è improprio in $0$, mentre l'integrale di $g(x)$ lo è e diverge.
"onlynose":
La formula che ti ho dato segue dalla monotonia dell'integrale:
$f(x)\le g(x)$ implica $\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)$. Dunque sapendo che $\int_0^{10}f(x)dx$ è un numero reale finito e che $\int_{10}^{infty}g(x)dx$ converge, puoi dire che $\int_0^\infty f(x)dx$ converge maggiorato da un valore reale.
Qualche domanda a riguardo.
L'implicazione iniziale, io so che è valida negli integrali propri solo se entrambe le funzioni integrande sono integrabili in tale intervallo chiuso. In questo caso tuttavia abbiamo degli integrali impropri, e non so come si deve interpretare l'integrabilità nei vari casi.
Ad esempio, rispetto al teorema usato per il confronto degli integrali, g(x) è integrabile in $[0,n]$, tenendo conto che in 0 vi è divergenza? In base a cosa quel criterio lo si applica in modo analogo agli integrali impropri per vedere se le condizioni di applicazioni son soddisfatte?
mentre all'altro opposto vi è un $+oo$, tuttavia l'intervallo è aperto per definizione verso $+oo$, e ciò non soddisfa a priori la condizione, anche se ci si può ricondurre a un qualsiasi numero minore di $+oo$.
Altra domanda semplice, un integrale proprio, come lo è la parte sinistra dell'integrale di $f(x)$, è sempre convergente? A livello astratto vedo che non dovrebbe poter divergere, ma potrebbe essere irregolare?
Per sicurezza poi chiedo: hai detto che "il punto dove sbaglio è che $f(x)$ non è impropria in 0 mentre l'integrale di $g(x)$ diverge": questo non significa che i miei passaggi siano errati nel voler studiare la $g(x)$ in tutto l'intervallo, 0 incluso, ma semplicemente che ciò non porterebbe a nulla in quanto essendo esso divergente non posso affermare nulla riguardo all'integrale $f(x)$, giusto?
Grazie.
"onlynose":
Il punto dove sbagli è che il tuo integrale non è improprio in $0$, mentre l'integrale di $g(x)$ lo è e diverge.
Una controprova che nel frattempo ho provato senza un risultato chiaro è lo svolgimento di questa funzione tramite confronto asintotico.
Prendo sempre $g(x)=1/x^2$
In un intervallo $[0;+oo)$ ho che $g(x)$ all'infinito va a $0$ da destra, quindi in questo caso il risultato è infinitesimamente maggiore di 0 per x che tende all'infinito, quindi positivo, ma non nullo.
Ho che $lim_(x->+oo) f(x)/g(x)=1 $
e poi essendo che l'integrale di $g(x)$ diverge, allora anche quello di $f(x)$ divergerà, che non è una soluzione corretta.
Riusciresti a chiarirmi ciò? Grazie!
Up.
Vorrei chiarire questo criterio del confronto asintotico, dato che la definizione che ho trovata online sull'applicazione non sembra dia risultati corretti.
Vorrei chiarire questo criterio del confronto asintotico, dato che la definizione che ho trovata online sull'applicazione non sembra dia risultati corretti.
Up.
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