Prova per induzione di una sommatoria

[Ele975]

Prova per induzione di $\sum_{k=n+1}^(2n) (2k-1)=3^n$

Non riesco a capire come esprimere P(n+1) e come esprimere P(n+1) con Pn. Potrei avere tutti e 3 i passaggi dell'induzione?

[gugo82]

"Ele975":Potrei avere tutti e 3 i passaggi dell'induzione?

No.
Il forum non funziona così.

"Ele975":Prova per induzione di $\sum_{k=n+1}^(2n) (2k-1)=3^n$

Non riesco a capire come esprimere P(n+1) e come esprimere P(n+1) con Pn.

Cosa hai scritto?
Hai studiato come si fa una dimostrazione per induzione?
Come hai provato a fare?
Dove ti sei bloccata?

[pilloeffe]

Ciao Ele975,

Benvenuta sul forum!
Comincerei con l'osservare che l'uguaglianza proposta è falsa, infatti per $n = 1 $ si ha:

$ \sum_{k=2}^(2) (2k-1) = 4 - 1 = 3^1 $

il che lascerebbe presumere che sia vera, ma già per $n = 2 $ si può notare che è falsa:

$ \sum_{k=3}^(4) (2k-1) = (6 - 1) + (8 - 1) = 5 + 7 = 12 \ne 3^2 = 9 $

Poi, prima ancora di procedere con una dimostrazione per induzione, osserverei che posto per brevità $a_k := 2k - 1 $ si ha:

$ \sum_{k=1}^(2n) a_k = \sum_{k=1}^(n) a_k + \sum_{k= n + 1}^(2n) a_k $

Pertanto la sommatoria proposta è la seguente:

$ \sum_{k= n + 1}^(2n) a_k = \sum_{k=1}^(2n) a_k - \sum_{k=1}^(n) a_k $

Ora si può dimostrare (per induzione, ma anche con altri metodi) e ti inviterei a farlo, che si ha:

$ \sum_{k=1}^(n) a_k = n^2 $

Scrivendo in quest'ultima equazione $2n $ al posto di $n $ si ha:

$ \sum_{k=1}^(2n) a_k = 4n^2 $

In definitiva per la sommatoria proposta si ha:

$ \sum_{k= n + 1}^(2n) a_k = \sum_{k=1}^(2n) a_k - \sum_{k=1}^(n) a_k = 4n^2 - n^2 = 3n^2 $