Analisi matematica di base

Salve, se ho un'applicazione differenziabile con inversa differenziabile, essa deve necessariamente avere determinante jacobiano diverso da zero in ogni suo punto? O meglio, una funzione che è differenziabile con inversa differenziabile, può avere determinante iacobiano nullo in un punto del suo dominio? Pensando alla funzione $x^3$, essa è differenziabile come pure la sua inversa, ma il suo determinante iacobiano, che coincide con la derivata prima, è nullo in $0$. Il ...

Salve, Spero sia la sezione giusta. Mi domandavo quale fosse la differenza formale tra una funzione generatrice e una serie di potenze. La definizione che mi hanno dato di funzione generatrice al corso di matematica discreta è la seguente: Sia \( (a_n)_{n \in \mathbb{N} } \) una successione di numeri reali, una funzione generatrice \( a(x) \) è \[ a(x) = \sum\limits_{n \geq0 } a_n x^n \] Mentre al corso di analisi 1 mi diedero la seguente definizione di serie di potenze Sia \( (a_n)_{n \in ...

Mi trovo di fronte alla seguente equazione integrale per la funzione $I(z')$: $$j\frac{4\pi}{a}\omega\mu\epsilon E^i(z) \underbrace{=}_{\forall z\in [-L,L]} \int _{z'=-L}^L\left(k^2 I(z') + I''(z')\right)\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\mathrm{d}z'-\left[\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}I(z') \right]_{z'=-L}^L +\left[I(z') \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ ...

Salve a tutti! Vorrei sapere se lo svolgimento di questo esercizio è il più efficiente e soprattutto se è corretto. Purtroppo non conosco la soluzione e non posso nemmeno verificarla con un calcolatore. Non ho nemmeno trovato eserciziari da consultare. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie: $$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{e^{nx}+1}$$ Ho studiato la convergenza puntuale col criterio del rapporto (è a termini ...

Buongiorno, vorrei sapere come risolvere questa tipologia di esercizi (conosco già la definizione di massimo, minimo e di funzione limitata): So che dovrei proporre almeno un tentativo di svolgimento, però non saprei neanche da dove cominciare. Grazie.

$f(x)= (2x^4)/(x^6 +x^2) $ con $f: RR\setminus \{ 0\} -> RR$ (con $RR$ intendo i numeri reali) A) È limitata B) È limitata superiormente ma non inferiormente C) È limitata inferiormente ma non superiormente D) È limitata. Ho fatto i due limiti che per $x$ che tendono a $+oo$ e $-oo$ mi danno come risposta entrambe $0$. Ma essendo $0$ escluso dal dominio, posso dire che questa funzione è limitata?

Come si risolve questo limite? $ lim_(x -> 0^-) e^(1/x)/x $

Salve ragazzi, ho provato a dimostrare la monotonia di questa successione ,$(3sqrt(n)-n)/(n+1)$, ma non riesco a procedere e concludere(ho usato la definizione $a(n+1)<a(n)$ ).Qualche trucco algebrico per vedere il suo comportamento?P.S non posso usare la derivata. Grazie $(3sqrt(n+1)-n-1)/(n+2) <(3sqrt(n)-n)/(n+1) $ da qui in poi non so procedere. Ho pensato di procedere in questo modo : $3nsqrt(n)-n^2+6sqrtn-2n>3nsqrt(n+1)-n^2-2n+3sqrt(n+1)-1$ $3nsqrtn+6sqrtn>3nsqrtn+3sqrtn$ per n->+oo dunque 6>3 ,concludo dicendo che la successione è monotona decrescente ...

Sen(2x)-rad2cosx>=0 aiutatemi pleasee!!

Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio: Dato il numero \(\displaystyle z= \frac{-\sqrt{2}}{2} -i \frac{\sqrt{2}}{2}\), il più piccolo intero \(\displaystyle n \) positivo tale che \(\displaystyle z^n = -z \) è: (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7 Il mio ragionamento è: \(\displaystyle z=\frac{-\sqrt{2}}{2} -i \frac{\sqrt{2}}{2} = \left(\cos \frac{5}{4} \pi + i \sin \frac{5}{4} \pi \right)= e^{i \frac{5 \pi}{4}} \). So che \(\displaystyle z^n = -z \) e quindi che \(\displaystyle n\cdot ...

Salve a tutti! Mi serve aiuto col seguente esercizio: Integrare per serie la funzione $arctan(sin(x))$ per $x in [0,pi/4]$ Siccome sappiamo che $arctan(t)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^(2n+1)/(2n+1)$ Quindi $arctan(sin(x))=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (sin(x))^(2n+1)/(2n+1)$ Dopo aver dimostrato che la serie converge uniformemente nell'intervallo richiesto, per il teorema di integrazione per serie risulta: $\int_{0}^{\pi/4} arctan(sin(x))\ dx =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(2n+1) \int_{0}^{\pi/4} sin(x)^(2n+1)\ dx$ Il problema sta nel calcolo dell'integrale a destra, infatti mi risulta $\int_{0}^{\pi/4} sin(x)^(2n+1)\ dx=\int_{1}^{sqrt2/2} (1-y^2)^n \ dy$ con $y=cos(x)$. Come ...

$ int_(0)^(3) dx (int_(0)^(sqrt(9-x^2)) x dy )-int_(0)^(1)(int_(0)^(sqrt(1-x^2))xdy)dx=int_(0)^(3)x(sqrt(9-x^2))-int_(0)^(1)x(sqrt(1-x^2))=int_(0)^(3)(3x-x^2)dx-int_(0)^(1)(x-x^2)dx=3int_(0)^(3)x-int_(0)^(3)x^2-int_(0)^(1)x+int_(0)^(1)x^2dx=3[x^2/2]_(0)^(3)-[x^3/3]_(0)^(3)-[x^2/2]_(0)^(1)+[x^3/3]_(0)^(1)=(3(3)^2/2-3^3/3-1^2/2+1^3/3)=27/2-27/3-1/2+1/3=(81-54-3+2)/6=26/6 $

Ciao, sto studiando i limiti di successioni. Volevo chiedervi se il criterio seguente è detto della radice (ho trovato sui libri di testo il criterio della radice riguardante le serie che non ho ancora studiato) e se è corretto: Si suppone che \(a_{n}\) sia una successione a termini positivi e che \(\forall n\in N, a_{n}\leq q^n\) definitivamente. La dimostrazione procede estraendo la radice \[ \sqrt[n]{a_{n}}\leq q, \forall n\in N \] e facendo la seguente ipotesi \[ \exists L=\lim_{n \to ...

Vorrei avere un'informazione. Di solito la goniometria viene presentata nel penultimo anno dei licei/istituti tecnici con più o meno dettagli, ma vine mostrata come una branca a se della matematica. Poi però studiando analisi e le funzioni, si ritorna a parlare di funzioni circolari soì come sono state presentate ma in un contesto diverso. Viene detto seno di x l'rodinata del punto in cui la semiretta (che indiviadua l'arco di lunhezza x) che interseca la circonferenza. Ma in teoria non ...

Ciao a tutti! Vorrei chiedere ancora il vostro prezioso aiuto (questo esame di analisi mi sta uccidendo). Stavolta l'esercizio è il seguente (non sono ferratissima quindi spero di non dire corbellerie ) Data \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ( (x/2)^k+k^{-x} ) \), se ne studi la convergenza puntuale e uniforme. Posso considerare separatamente le due serie: \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ( (x/2)^k) \) è una serie di potenze, ponendo\(\displaystyle y=x/2 \) ottengo la serie \(\displaystyle ...

Buongiorno a tutti! Sono alle prese con un esercizio e vi chiedo per favore di darmi una mano. L'esercizio è questo: Sia $N:RR^3 -> RR$ definita da: $ N (x, y, z) := max \{ |x| + |y|, |z|\} $ . Dimostrare che $N$ è una norma su $RR^3$ e stabilire se l’insieme $\{(x, y, z) in RR^3:\ N(x, y, z) <= 3 \}$ è compatto rispetto alla metrica indotta da $N$. Ora, per quanto riguarda la dimostrazione di norma credo che la seguente possa andare: [*:2nwcm8c5] $N (X)=N(x,y,z) >=0$ per ...

Salve a tutti, non riesco a risolvere questo limite $ lim_(x -> +oo) ((logx) ^x) /x^logx $ Ho provato a passare alla forma esponenziale ma il risultato che ottengo è$ +oo$

Salve, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio per favore? Determinare per quali valori di k apparente a \( \Re \) l'insieme delle soluzioni della seguente equazione complessa costituisce una circonferenza. Per tali valori di k determinare il centro e il raggio delle corrispondenti circonferenze. \( z\overline{z}+(1+i(k^2+4))z+(1-i5k)\overline{z}=-1 \)

salve ragazzi non riesco a capire come risolvere questo integrale: $ int_(1)^(3) int_(3)^(4) 1/(x+y)^2 dx dy =int_(1)^(3) int_(3)^(4)(x+y)^-2dxdy=int_(1)^(3)dy[(x+y)^-3/-3]_(3)^(4)=-1/3 int_(1)^(3)(x+y)^-3 dy $ il risultato deve essere$ ln(15/14)$ grazie

Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco. Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono? Un secondo esempio è anche $\int_(-oo)^(+oo) 1/x^n dx$ vedo che divergono sempre, ma sfruttando i modi che conosco di integrali impropri notevoli o di calcolo diretto mi impantano perché magari converge a infinito ma non a zero (la funzione infatti lì non è ...