Studio delle singolarità (pochi giorni all'esame)

[Uomosenzasonno]

Ciao a tutti. Nella mia eterna insicurezza volevo chiedervi se ho risolto bene questo esercizio:

Data la seguente funzione di variabile complessa, determinare e classificare le singolarità al finito.
$f_n(z) = z^n/(1-cos(z))$

Allora ho ragionato così:

la funzione ha singolarità per $z = 2kpi$, con $k in ZZ$.

1) Supponiamo $AAk!=0$, $AAn in Z, n>=0$ ho:
$lim_(z->2kpi)z^n/(1-cos(z)) = (2kpi)^n/0 = oo$

E cioè sotto le condizioni del punto 1, $z=2kpi$ è un polo.

2) Per $k=0$ ho:

$lim_(z->0)z^n/(1-cos(z)) = 0/0$

Applico de l'Hopital 2 volte:
$lim_(z->0)z^n/(1-cos(z)) = lim_(z->0)(nz^(n-1))/(sin(z))=lim_(z->0)(n(n-1)z^(n-2))/cos(z) = 0$
Cioè $AA n!=0, n!=1$, ho che la singolarità $z_0=0$ è eliminabile.

Ora vediamo cosa accade per $n=0 $ e $n=1$:
2.1) $n=0$
$lim_(z->0)1/(1-cos(z))=oo$
Cioè in questo caso, n è un polo
2.2)$n=1$
$lim_(z->0)z/(1-cos(z))=0/0 = lim(z->0)1/(sin(z)) = oo$
Polo.

Ora ho notato mentre stavo scrivendo che ho fatto solo il caso $n>=0$, mentre $n $ varia in $ZZ$. Dato che è difficoltoso risolvere gli esercizi scrivendo sul forum, farò l'esercizio su carta. Però seguiro lo stesso ragionamento di cui sopra. E' corretto???

Grazie

EDIT:

3) per $n<0$ , $AAk$
$lim_(z->2kpi) (z^n)/(1-cos(z)) = lim_(z->2kpi)1/(z^h(1-cos(z))) = oo$ Cioè un polo.

[Sk_Anonymous]

Conviene senz'altro procedere diversamente. Per esempio, quando $[z->0]$:

$[f(z)=z^n/(1-cosz)] rarr [f(z)=z^n/(1-1+1/2z^2+o(z^2))] rarr [f(z)=z^n/(1/2z^2(1+o(1)))] rarr$

$rarr [f(z)=(2z^(n-2))/(1+o(1))] rarr [f(z)=2z^(n-2)(1+o(1))]$

Quindi, mentre per $[n>=2]$ si ha una singolarità eliminabile, per $[n<2]$ si ha un polo di ordine $[2-n]$. Tra l'altro, quando si incontrano dei poli, sarebbe doveroso indicarne anche l'ordine.

[Uomosenzasonno]

Quindi è tutto sbagliato? Oppure solo la parte per $z->0$?

E comunque, dov'è che è sbagliato il mio ragionamento? Perché non funziona?

EDIT:
Aspetta, sono andato nel panico, ma in fondo mi pare abbiamo scritto la stessa cosa.. tu mi hai solo proposto una strada + veloce giusto?

[Sk_Anonymous]

Quando $[z->2kpi] ^^ [k!=0]$, potresti procedere anche così:

$lim_(z->2kpi)[(z-2kpi)^2z^n/(1-cosz)]=lim_(w->0)[w^2(w+2kpi)^n/(1-cos(w+2kpi))]=lim_(w->0)[(w+2kpi)^nw^2/(1-cosw)]=$

$=lim_(w->0)[(w+2kpi)^n(1+cosw)w^2/(sen^2w)]=2^(n+1)k^npi^n$

In questo modo, $[z=2kpi] ^^ [k!=0]$ risulta un polo del secondo ordine. Ti faccio solo notare che, riuscendo a stabilire anche l'ordine dei poli, non ho detto che il tuo procedimento fosse completamente sbagliato.

[Uomosenzasonno]

"speculor":Quando $[z->2kpi] ^^ [k!=0]$, potresti procedere anche così:

$lim_(z->2kpi)[(z-2kpi)^2z^n/(1-cosz)]=lim_(w->0)[w^2(w+2kpi)^n/(1-cos(w+2kpi))]=lim_(w->0)[(w+2kpi)^nw^2/(1-cosw)]=$

$=lim_(w->0)[(w+2kpi)^n(1+cosw)w^2/(sen^2w)]=2^(n+1)k^npi^n$

In questo modo, $[z=2kpi] ^^ [k!=0]$ risulta un polo del secondo ordine. Ti faccio solo notare che, riuscendo a stabilire anche l'ordine dei poli, non ho detto che il tuo procedimento fosse completamente sbagliato.

Se non mi sbaglio hai usato un teorema che dice che se $EE m>0, m inNN tc (z-z_0)^mf(z)$ converge a un numero diverso da 0 per $z->z_0$ allora $(z-z_0)$ è un polo di ordine m...

Nn ci sarei mai arrivato. Avrei senz'altro determinato l'ordine del polo in $z = 0$, ma mai con quel procedimento all'ordine degli altri poli...
Ora abuso della tua pazienza ma ti chiedo semplicemente di dirmi se è corretto quest'altro metodo:

Scrivo $z^n$ in serie di Taylor centrata in $z = 2kpi$: dai primi termini trovo che:

$z^n = (2kpi)^n + n(2kpi)^(n-1)(z-2kpi)+n(n-1)(2kpi)^(n-2)(z-2kpi)^2 + o$

Allora scrivo

$z^n = sum_(i=0)^(+oo)((2kpi)^(n-j)n!)/((n-j)!)(z-2kpi)^j$

Inoltre $1-cos(z)$ sempre sviluppato con Taylor centrato in $2kpi$, risulta

$1-cos(z) = sum_(h=1)^(+oo)((-1)^(h+1)/((2h)!)(z-2kpi)^(2h))$

A questo punto faccio il rapporto e scrivo la seconda sommatoria come segue:
$1-cos(z) = sum_(q=0)^(+oo)((-1)^(q+2)/((2q+2)!)(z-2kpi)^(2q+2))$

Dal rapporto ottengo:
$f_n(z) = sum_(p=0)^(+oo)a_p(z-2kpi)^(p-2p-2)$

Dove il primo termine non nullo è quello in $-2$.

Corretto? Il tuo metodo era + fico.. però nn so' se ci avrei pensato!

[Sk_Anonymous]

Non mi convince come hai fatto il rapporto. Voglio dire, si può fare, ma non certamente così. Piuttosto:

$(a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+a_3(z-z_0)^3+...)/(b_2(z-z_0)^2+b_3(z-z_0)^3+...)=$

$=(a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+a_3(z-z_0)^3+...)/(b_2(z-z_0)^2[1+b_3/b_2(z-z_0)+...])=$

$=(a_0/b_2(z-z_0)^(-2)+a_1/b_2(z-z_0)^(-1)+a_2/b_2+a_3/b_2(z-z_0)+...)/(1+b_3/b_2(z-z_0)+...)=$

$=[a_0/b_2(z-z_0)^(-2)+a_1/b_2(z-z_0)^(-1)+a_2/b_2+a_3/b_2(z-z_0)+...][1-b_3/b_2(z-z_0)+...]=$

$=a_0/b_2(z-z_0)^(-2)+(a_1/b_2-(a_0b_3)/b_2^2)(z-z_0)^(-1)+$

Nel penultimo passaggio ho utilizzato lo sviluppo $[1/(1+q)=1-q+...]$ valido per $[q->0]$.

[Uomosenzasonno]

Si in effetti quello che ho scritto non ha senso.. se mi capitasse una cosa del genere penso che proverei a utilizzare il primo metodo che mi hai consigliato. Oggettivamente è il meno macchinoso anche se ci vuole buon occhio.

Grazie mille!