Semplice sommabilità di una funzione

[pocholoco92]

allora premetto che ho fatto pochissimi esercizi sulla sommabilità quindi so che è un esercizio molto molto facile ma ho dei piccoli dubbi

$ f(x)=(x^2+1)/((x-2)^(a)(x+3)^(b)) $ nell'intervallo $ [4,+oo[$

innanzitutto mi porto il numeratore al denominatore

$ 1/((x^2+1)^-1(x-2)^a(x+3)^b) $

nell'intervallo $[4,+oo[$ solo $+oo$ ci da problemi
quindi l'unica condizione da porre è

$-1+a+b>1$ perchè a $+oo$ la funzione è infinitesima e deve essere infinitesima di ordine superiore a 1

è giusto?
perche questo esercizio è stato dato al compito e mi sembrava strano fosse cosi semplice, cosi credevo di perdere qualcosa per strada

[Rigel1]

No.
Il primo fattore a denominatore contiene $x^2$, dunque hai che
\( f(x) \sim \frac{1}{x^{a+b-2}}\) per $x\to +\infty$.
La condizione di sommabilità è dunque $a+b-2>1$.

[pocholoco92]

ah ecco
grazie mille chiarissimo

solo un altro piacere

ho difficoltà invece con i logaritmi
sapendo che l'ordine di un logaritmo non è calcolabile trovo difficoltà in esercizI del tipo

$f(x)= 1/(x^alogx)$ studiarlo a $+oo$

[Rigel1]

Si può dimostrare che la funzione $f(x) = \frac{1}{x^a (\log x)^b}$ è integrabile su $[c, +\infty)$ (con $c>1$) se e solo se $a>1$ oppure $a=1$ e $b>1$.