Equazioni differenziali
allora ho la seguente equ.diff:
$y ' =- {(x^2+xy+y^2)/(x^2)} $
la condizione del problema di Cauchy è : y(1)
per cui semplificando mi viene:
$y'= -1 -(y/x)-(y^2/x^2)$
sono indeciso se è Bernuolli (dato che ho $y^2$ ) oppure lineare con termine noto $ f=-1-(y^2/x^2)$
oppure mi sta venendo in mente che posso fare una sostituzione del tipo $ z=y/x$ --> $y=xz$ --> $y'=z'$
che dite??? purtroppo sono testi d'esame e non ho le soluzioni
2) altra equ. differenziale:
$y''+y=ay$
con condizioni : $y'(0)=0$ ; $y'(pi)=0$
il testo chiede di individuare valori di a per cui il problema non ha soluzione identicamente nulle e specificarle ( ( non ho capito bene cosa intende qua...))
cmq
io ho considerato l'equ. caratteristica, praticamente ho imposto che se:
$a>1$ l'equ. caratteristica ha soluzioni reali e diverse
$a=1$ l'equ. caratteristica ha soluzioni coincidenti
$a<1$ ho soluzioni complesse
allora ho iniziato con il primo caso, ho derivato le soluz trovate e imposto le condizioni cioè impostato un sistema
però c'è qualcosa che non mi torna!voi che ne pensate?
grazie!!!
$y ' =- {(x^2+xy+y^2)/(x^2)} $
la condizione del problema di Cauchy è : y(1)
per cui semplificando mi viene:
$y'= -1 -(y/x)-(y^2/x^2)$
sono indeciso se è Bernuolli (dato che ho $y^2$ ) oppure lineare con termine noto $ f=-1-(y^2/x^2)$
oppure mi sta venendo in mente che posso fare una sostituzione del tipo $ z=y/x$ --> $y=xz$ --> $y'=z'$
che dite??? purtroppo sono testi d'esame e non ho le soluzioni
2) altra equ. differenziale:
$y''+y=ay$
con condizioni : $y'(0)=0$ ; $y'(pi)=0$
il testo chiede di individuare valori di a per cui il problema non ha soluzione identicamente nulle e specificarle ( ( non ho capito bene cosa intende qua...))
cmq
io ho considerato l'equ. caratteristica, praticamente ho imposto che se:
$a>1$ l'equ. caratteristica ha soluzioni reali e diverse
$a=1$ l'equ. caratteristica ha soluzioni coincidenti
$a<1$ ho soluzioni complesse
allora ho iniziato con il primo caso, ho derivato le soluz trovate e imposto le condizioni cioè impostato un sistema
però c'è qualcosa che non mi torna!voi che ne pensate?
grazie!!!
Risposte
Per il primo va bene $z=y/x$
Per il secondo non è molto chiaro il problema, comunque la tua risoluzione è giusta.
Non ci sono valori di a che rendono identicamente nulla la funzione, ovvero sono tutti i valori, sempre che $y=0$.
Cioè se $y=0$, rimane sempre a zero.
Per il secondo non è molto chiaro il problema, comunque la tua risoluzione è giusta.
Non ci sono valori di a che rendono identicamente nulla la funzione, ovvero sono tutti i valori, sempre che $y=0$.
Cioè se $y=0$, rimane sempre a zero.
"ing.cane":
oppure lineare con termine noto $ f=-1-(y^2/x^2)$
Ma dai. Non vedi che c'è una \(y^2\)? Come fai a pensare che possa essere una equazione lineare? Occhio che sono errori pesanti ad un esame.
intanto grazie per avermi risposto ^-^
Per la seconda ho sbagliato a scrivere la rischiesta del quesito, che è:
" individuare i valori del parametro reale a per cui il problema ha soluzioni non identicamente nulle e specificarle"
che da quello che ho capito significa che non devo avere entrambe le soluzioni nulle ? o sbaglio?
Vabbè praticamente io ho trovato, nel caso che il delta sia maggiore di zero cioè $a>1$, il seguente integrale generale:
$y= c_1 e^(x(a-1)^(1/2)) + c_2 e^(-x(a-1)^(1/2)) $
e non so se è corretto
................................................................
nel primo esercizio invece, facendo la sostituzione $z=y/x$ --> $y'= z + x z'$
per cui $ z + x z'=-1+z+z^2$ -->$z'=(z^2-1)/x$ che risolvo come un'equ. a variabili separabili giusto?
Per la seconda ho sbagliato a scrivere la rischiesta del quesito, che è:
" individuare i valori del parametro reale a per cui il problema ha soluzioni non identicamente nulle e specificarle"
che da quello che ho capito significa che non devo avere entrambe le soluzioni nulle ? o sbaglio?
Vabbè praticamente io ho trovato, nel caso che il delta sia maggiore di zero cioè $a>1$, il seguente integrale generale:
$y= c_1 e^(x(a-1)^(1/2)) + c_2 e^(-x(a-1)^(1/2)) $
e non so se è corretto
................................................................
nel primo esercizio invece, facendo la sostituzione $z=y/x$ --> $y'= z + x z'$
per cui $ z + x z'=-1+z+z^2$ -->$z'=(z^2-1)/x$ che risolvo come un'equ. a variabili separabili giusto?
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