Successioni convergenze!!!!!
Ciao a tutti.
mi sono trovata con questo problema.
data una successione di funzioni reali di variabile reale convergente uniformemente su tutto R ad una funzione strett crescente e derivabile su tutto R. devo dimostrare che la successione delle derivate prime può non essere magg di 0 per qualche n e che nn puo essere minore di 0 per ogni n?
Io ho provato csi, ma ahimè nn è la successione adatta. qualcuno mi puo venire in aiuto?
Grazieee
- ho scelto una successione di funzioni del tipo f_n(x)=nx^2.
- la sua derivata prima è 2nx.
ora, è chiaro che per x>0 e per ogni n<0 la f'_n(x)<0, cosi come per x<0 e per ogni n>0.
Ma per x>=0 ed n>=0 (o per x<=0 ed n<=0) f_n(x)>=0
questa successione non converge in alcun punto di R, ma va a più infinito per n all'infinito;....
mi sono trovata con questo problema.
data una successione di funzioni reali di variabile reale convergente uniformemente su tutto R ad una funzione strett crescente e derivabile su tutto R. devo dimostrare che la successione delle derivate prime può non essere magg di 0 per qualche n e che nn puo essere minore di 0 per ogni n?
Io ho provato csi, ma ahimè nn è la successione adatta. qualcuno mi puo venire in aiuto?
Grazieee
- ho scelto una successione di funzioni del tipo f_n(x)=nx^2.
- la sua derivata prima è 2nx.
ora, è chiaro che per x>0 e per ogni n<0 la f'_n(x)<0, cosi come per x<0 e per ogni n>0.
Ma per x>=0 ed n>=0 (o per x<=0 ed n<=0) f_n(x)>=0
questa successione non converge in alcun punto di R, ma va a più infinito per n all'infinito;....
Risposte
Il problema è interessante, peccato che il tuo post sia poco leggibile perché non scrivi correttamente le formule e usi abbreviazioni da SMS (nn, cmq, xò) che qui non sono tollerate. Prova a modificarlo, riscrivendo le formule come si deve (è molto semplice: basta includerle tra due simboli del dollaro) ed eliminando le abbreviazioni. Grazie
Ciao a tutti.
mi sono trovata con questo problema.
data una successione di funzioni reali di variabile reale convergente uniformemente su tutto R ad una funzione strett crescente e derivabile su tutto R. devo dimostrare che la successione delle derivate prime può non essere magg di 0 per qualche n e che nn puo essere minore di 0 per ogni n?
Io ho provato csi, ma ahimè nn è la successione adatta. qualcuno mi puo venire in aiuto?
Grazieee
- ho scelto una successione di funzioni del tipo $f_n(x)=nx^2$
- la sua derivata prima è $2nx$
ora, è chiaro che per x>0 e per ogni n<0 la $f'_n(x)<0$ cosi come per x<0 e per ogni n>0.
Ma per x>=0 ed n>=0 (o per x<=0 ed n<=0) f_n(x)>=0
questa successione non converge in alcun punto di R, ma va a più infinito per n all'infinito;....
Potrebbe andar bene $f_n(x)=-exp(1-nx)$ ????
mi sono trovata con questo problema.
data una successione di funzioni reali di variabile reale convergente uniformemente su tutto R ad una funzione strett crescente e derivabile su tutto R. devo dimostrare che la successione delle derivate prime può non essere magg di 0 per qualche n e che nn puo essere minore di 0 per ogni n?
Io ho provato csi, ma ahimè nn è la successione adatta. qualcuno mi puo venire in aiuto?
Grazieee
- ho scelto una successione di funzioni del tipo $f_n(x)=nx^2$
- la sua derivata prima è $2nx$
ora, è chiaro che per x>0 e per ogni n<0 la $f'_n(x)<0$ cosi come per x<0 e per ogni n>0.
Ma per x>=0 ed n>=0 (o per x<=0 ed n<=0) f_n(x)>=0
questa successione non converge in alcun punto di R, ma va a più infinito per n all'infinito;....
Potrebbe andar bene $f_n(x)=-exp(1-nx)$ ????
No, aspetta, non va bene questo approccio. Stai andando per tentativi e in questo caso non va bene. Partiamo dal punto 1).
1) Se \(f_n \to f\) uniformemente su \(\mathbb{R}\) e \(f\) è strettamente crescente e derivabile, può succedere che per qualche \(n\) esista \(x\) tale che \(f'_n(x) < 0\).
Qui si può rispondere in modo molto banale. Per fissare le idee sia \(f(x)=x\). Prendiamo una qualsiasi successione \(f_n \to f\), al limite va bene anche la successione banale \(f_n(x)=x\). Ora, come sai dalla teoria delle successioni numeriche, cambiare solo un numero finito di termini di una successione non ne altera il carattere: questo concetto si estende alle successioni di funzioni. Perciò basta sostituire il primo termine (per esempio) della successione \(f_n\) con qualcosa avente derivata negativa. Una possibilità è la successione
\[(-x, x, x, x, x \ldots ).\]
2) Se \(f_n\to f\) uniformemente su \(\mathbb{R}\) non può succedere che \(f'_n(x) <0 \) per ogni \(x\) e per ogni \(n\). (Spero di avere interpretato correttamente il testo dell'esercizio. Tu lo hai riportato in modo impreciso). Questo è il secondo punto e qui c'è da dimostrare questa proposizione. Qualche idea? Io procederei per assurdo.
1) Se \(f_n \to f\) uniformemente su \(\mathbb{R}\) e \(f\) è strettamente crescente e derivabile, può succedere che per qualche \(n\) esista \(x\) tale che \(f'_n(x) < 0\).
Qui si può rispondere in modo molto banale. Per fissare le idee sia \(f(x)=x\). Prendiamo una qualsiasi successione \(f_n \to f\), al limite va bene anche la successione banale \(f_n(x)=x\). Ora, come sai dalla teoria delle successioni numeriche, cambiare solo un numero finito di termini di una successione non ne altera il carattere: questo concetto si estende alle successioni di funzioni. Perciò basta sostituire il primo termine (per esempio) della successione \(f_n\) con qualcosa avente derivata negativa. Una possibilità è la successione
\[(-x, x, x, x, x \ldots ).\]
2) Se \(f_n\to f\) uniformemente su \(\mathbb{R}\) non può succedere che \(f'_n(x) <0 \) per ogni \(x\) e per ogni \(n\). (Spero di avere interpretato correttamente il testo dell'esercizio. Tu lo hai riportato in modo impreciso). Questo è il secondo punto e qui c'è da dimostrare questa proposizione. Qualche idea? Io procederei per assurdo.
si hai interpretato perfettamente il testo. Io ahime non ho nessuna idea su come fare, non sono ferratissima sull'argomento, sono alle prime armi e non mi è chiaro nemmeno il punto uno.
come successione avevo pensato a
$f_n(x)= -e^(1-nx)$
oppure
$f_n(x)=e^(1-nx)$
come procederesti tu con questa successione in entrambi i punti?
Grazie
come successione avevo pensato a
$f_n(x)= -e^(1-nx)$
oppure
$f_n(x)=e^(1-nx)$
come procederesti tu con questa successione in entrambi i punti?
Grazie
Per il punto due non devi costruire un esempio. Devi dimostrare una proposizione. Per il punto uno invece quella successione non va bene, come ti dicevo prima. Nemmeno converge su tutto \(\mathbb{R}\).
Ok devo dimostrare una proposizione, ma non ho idea di dove partire, come vedi sono molto confusa...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo