Confronto di una serie con la serie armonica generalizzata
Salve a tutti ragazzi,
sono nuovo del forum. Frequento il secondo anno di matematica all'università e vorrei chiedervi un consiglio su come stabilire il carattere di una serie.
Allora, la serie di cui studiare il carattere in questione è $\sum_{n=1}^infty ln(n^7)/(1+n^alpha)$, al variare di $\alpha$ in $\RR$
Ora, per studiarne il carattere pensavo, essendo la serie a termini strettamente positivi, di provare il confronto con la serie armonica generalizzata. Ora, la mia domanda è la seguente devo procedere utilizzando lo stesso parametro, ovvero provando il $\lim_{n \to \infty}(1/n^alpha)/(ln(n^7)/(1+n^alpha))$ e procedere studiando i casi possibili o introducendo al denominatore un nuovo parametro $\beta$ e andando a studiare quindi il limite con due parametri diversi?
Grazie mille anticipate,
Buone feste
Vito L
sono nuovo del forum. Frequento il secondo anno di matematica all'università e vorrei chiedervi un consiglio su come stabilire il carattere di una serie.
Allora, la serie di cui studiare il carattere in questione è $\sum_{n=1}^infty ln(n^7)/(1+n^alpha)$, al variare di $\alpha$ in $\RR$
Ora, per studiarne il carattere pensavo, essendo la serie a termini strettamente positivi, di provare il confronto con la serie armonica generalizzata. Ora, la mia domanda è la seguente devo procedere utilizzando lo stesso parametro, ovvero provando il $\lim_{n \to \infty}(1/n^alpha)/(ln(n^7)/(1+n^alpha))$ e procedere studiando i casi possibili o introducendo al denominatore un nuovo parametro $\beta$ e andando a studiare quindi il limite con due parametri diversi?
Grazie mille anticipate,
Buone feste
Vito L
Risposte
"Vito L":
ln(n^7)/(1+n^alpha)
Basta studiare il termine generale (o, ancora meglio, $ln(n)/(n^alpha)$ ). Questo è infinitesimo $AA alpha > 0$ (per gli altri $alpha$ divergerà).
Certamente se $alpha - 1 > 1$ , cioè se $alpha > 2$ la serie converge. Infatti:
$ln(n)/n^alpha <= n/n^alpha <= 1/n^(alpha -1)$.
Resta da capire cosa succede per $alpha = 2$.
Beh, la successione \(\frac{\ln n}{n^\alpha}\) è un infinitesimo non dotato di ordine (rispetto a \(1/n\)); e tuttavia è di ordine superiore di ogni \(p<\alpha\) e di ordine inferiore ad ogni \(p\geq \alpha\).
Quindi la serie converge se \(\alpha >1\) e diverge se \(\alpha \leq 1\).
Quindi la serie converge se \(\alpha >1\) e diverge se \(\alpha \leq 1\).
D'accordo... Un modo per vedere le conclusioni ineccepibili di Gugo è usare il criterio di condensazione di Cantor (o Cauchy, a discrezione dell'autore). Lo conosci?
se applichi il criterio del confronto asintotico con la serie di Abel, viene tutto più semplice:
$ 7ln n/(n^(a)+1) = 7/(((ln n)^(-1))(n^(a))) $
che a meno di una costante (7) è la serie di abel che:
se $a>1$ per ogni esponente del log converge
se $a<1$ per ogni esponente del log diverge
se $a=1$ siccome l'esponente del log (-1)<1 diverge
$ 7ln n/(n^(a)+1) = 7/(((ln n)^(-1))(n^(a))) $
che a meno di una costante (7) è la serie di abel che:
se $a>1$ per ogni esponente del log converge
se $a<1$ per ogni esponente del log diverge
se $a=1$ siccome l'esponente del log (-1)<1 diverge
Allora, innanzitutto scusate il ritardo ma è dovuto al panettone natalizio 
Poi grazie a tutti per le risposte. La soluzione proposta da seneca è davvero molto elegante, non ho ben capito quella di gugo e l'ing. cane usa una serie per confrontare da noi non fatta durante l'esercitazione. Cmq ho pensato anche ad una soluzione tt mia, sentite qua:
Utilizzo subito il confronto con la serie armonica generalizzata facendo il
$\lim_{n \to \infty}(ln(n^7)/(1+n^alpha))/(1/n^alpha)=lim_{n \to \infty}(ln(n^7)/n^alpha)*(1/(1+n^alpha))$
Allora, per $\alpha>0$ $\lim_{n \to \infty}(ln(n^7)/(1+n^alpha))=0$ e $\lim_{n \to \infty}1/(1+n^alpha)=0$
Quindi per il confronto asintotico, se il $\lim_{n \to \infty}(a_n/b_n)=0$ se la serie $\a_n$ è covergente, anche la serie $\b_n$ è convergente, ovvero essendo la serie armonica generalizzata convergente per $\alpha>1$ abbiamo che la nostra $\a_n$ convergerà con $\alpha>1$ mentre, con $\alpha<0$ la serie, violata la condizione necessaria, diverge evidentemente.
Ora rimane il caso in cui $\00$ il limite fa 0, $\a_n e b_n$ hanno lo stesso comportamento e quindi per $\0
Anche se questo procedimento è evidentemente piu lungo e meno elegante delle vostre migliori soluzioni, mi direste se anche questo è giusto?
Grazie mille
Vito L
Poi grazie a tutti per le risposte. La soluzione proposta da seneca è davvero molto elegante, non ho ben capito quella di gugo e l'ing. cane usa una serie per confrontare da noi non fatta durante l'esercitazione. Cmq ho pensato anche ad una soluzione tt mia, sentite qua:Utilizzo subito il confronto con la serie armonica generalizzata facendo il
$\lim_{n \to \infty}(ln(n^7)/(1+n^alpha))/(1/n^alpha)=lim_{n \to \infty}(ln(n^7)/n^alpha)*(1/(1+n^alpha))$
Allora, per $\alpha>0$ $\lim_{n \to \infty}(ln(n^7)/(1+n^alpha))=0$ e $\lim_{n \to \infty}1/(1+n^alpha)=0$
Quindi per il confronto asintotico, se il $\lim_{n \to \infty}(a_n/b_n)=0$ se la serie $\a_n$ è covergente, anche la serie $\b_n$ è convergente, ovvero essendo la serie armonica generalizzata convergente per $\alpha>1$ abbiamo che la nostra $\a_n$ convergerà con $\alpha>1$ mentre, con $\alpha<0$ la serie, violata la condizione necessaria, diverge evidentemente.
Ora rimane il caso in cui $\0
Anche se questo procedimento è evidentemente piu lungo e meno elegante delle vostre migliori soluzioni, mi direste se anche questo è giusto?
Grazie mille
Vito L
"Vito L":
Quindi per il confronto asintotico, se il $\lim_{n \to \infty}(a_n/b_n)=0$ se la serie $\a_n$ è covergente, anche la serie $\b_n$ è convergente
Mi sa che sbagli. Prendi:
$a_n = 1/n^2$ e $b_n = 1/n$
$\lim_{n \to \infty}(a_n/b_n) = \lim_{n \to \infty} 1/n = 0$ ed è $sum a_n < +oo$ . Epperò non mi risulta che $sum b_n$ sia convergente...
Seneca c'è un'errore di battitura! $\a_n$ e $\b_n$ sono invertite! li sarebbe se la serie $\b_n$ è convergente anche la serie $\a_n$ è convergente
"Seneca":
Basta studiare il termine generale (o, ancora meglio, $ln(n)/(n^alpha)$ ). Questo è infinitesimo $AA alpha > 0$ (per gli altri $alpha$ divergerà).
Certamente se $alpha - 1 > 1$ , cioè se $alpha > 2$ la serie converge. Infatti:
$ln(n)/n^alpha <= n/n^alpha <= 1/n^(alpha -1)$.
Resta da capire cosa succede per $alpha = 2$.
Se ti riferisci a questa risoluzione, come puoi vedere è solo parziale.
Sai dalla teoria che la serie $sum_n 1/n^k$ converge se e solo se $k > 1$; il problema con quello che vuoi fare tu è che $1/n^k$ e $1/n * ln(n)$ non si possono confrontare... Cioè non puoi trovare $k$ in modo tale che il rapporto abbia limite un numero reale diverso da zero.
Il modo più semplice e pulito per risolverlo è quello di utilizzare il criterio di condensazione di Cantor.
Hai che $sum (ln(n))/n^alpha $ converge se e solo se $sum 2^n * (ln(2^n))/(2^n)^alpha $ converge.
$2^n * (ln(2^n))/(2^n)^alpha = ln(2) * n/(2^(n(alpha - 1)))$
Chiama $beta = alpha - 1$ ed utilizza il criterio del rapporto:
$(n+1)/(2^(n * beta + beta)) * (2^(n * beta))/n = (n+1)/n * 2^(n * beta - n beta - beta) = (n+1)/n * 2^(-beta) -> 2^(-beta)$
Se $beta > 0$ , $2^(-beta) < 1$ e la serie condensata converge $Rightarrow$ per $beta = alpha - 1 > 0$ converge la serie di partenza.
Veniamo al tuo tentativo:
Allora tu dici... sia $b_n = 1/( 1 + n^alpha)$ (il termine g. della serie che sappiamo essere convergente per $alpha > 1$) e $a_n = ln(n)/( 1 + n^alpha)$ (che vorremmo provare essere convergente per $alpha > 1$), giusto?
Ma $\lim_{n \to \infty} (a_n/b_n)= \lim_{n \to \infty} ln(n) = + oo$ non $0$.
"Vito L":
Quindi per il confronto asintotico, se il $\lim_{n \to \infty}(a_n/b_n)=0$ se la serie $\b_n$ è covergente, anche la serie $\a_n$ è convergente, ovvero essendo la serie armonica generalizzata convergente per $\alpha>1$ abbiamo che la nostra $\a_n$ convergerà con $\alpha>1$ mentre, con $\alpha<0$ la serie, violata la condizione necessaria, diverge evidentemente.
Allora tu dici... sia $b_n = 1/( 1 + n^alpha)$ (il termine g. della serie che sappiamo essere convergente per $alpha > 1$) e $a_n = ln(n)/( 1 + n^alpha)$ (che vorremmo provare essere convergente per $alpha > 1$), giusto?
Ma $\lim_{n \to \infty} (a_n/b_n)= \lim_{n \to \infty} ln(n) = + oo$ non $0$.
Allora, io però pongo $\b_n=(1/n^alpha)$ e $\ a_n=((ln(n^7))/(1+n^alpha)) $
Non cambia niente... $(a_n)/(b_n) -> +oo$ per $n -> +oo$.
Ok ho seguito il tuo procedimento alla fine seneca mi sembrava il migliore! scusa il ritardo della risposta ma l'esame si avvicina Grazie mille del tuo aiuto !! a presto 
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