Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Mi date una definizione di soluzione generale e soluzione particolare di una equazione differenziale?
sia $f_j:X->R$ una successione di funzioni misurabili. allora sono misurabili anche
$\lim_{j \to \infty}$sup$f_j$ e $\lim_{j \to \infty}$inf$f_j$.
inoltre se per ogni $x in X$ esiste $ \lim_{j \to \infty}$ della successione di numeri $f_j(x)$ e se definiamo la funzione $f:x-> \lim_{j \to \infty}$$f_j(x)$ allora la funzione f è misurabile.
volevo chiedere..una volta dimostrata la prima parte , la seconda deriva dalla prima o si dimostra a se???
Ragazzi/e volevo chiedere un gentilissimo favore, a breve ho lesame di analisi 1 ma purtroppo non so proprio da dove partire per lo studio della sommabilità di una funzione, sapreste darmi una mano per favore? Cioè, quando ho la mia funzione davanti, cosa devo fare pere calcolarne la sommabilità? Ho letto ke sommabile vuol dire anche assolutamente integrabile, quindi mi viene da pensare di fare l'integrale definito [a;+inft], ma molte volte non riesco a risolvere l'integrale, mi sapreste ...
Salve! Quelle che vi pongo sono domande già fatte decine di volte, ho cercato nei post passati ma anzichè eliminare dubbi li ho aumentati...Vi prego solo un po' di pazienza
1)Continuità. Per verificare che una funzione $f(x)$ è continua nel punto $x0$ devo avere $lim_(x->X0)f(x)=f(x0)$. Corretto?
Una funzione si dice continua in A se è continua in ogni punto di A. Ok ma quindi cosa fare praticamente? Come provare che sia "in ogni punto di A"?
2)Derivabilità. Si dice che ...
Sto studiando i punti di accumulazione e i punti isolati.
le definizioni sono:
1)Diciamo che $x_0$ è un punto di accumulazione di $X$ se
$AAε > 0 X nn (x_0 − ε, x_0 + ε) \\{x_0} !=O/$ .
2)Diciamo che $x_0$ è un punto isolato di $X$ se
$AAε > 0 X nn (x_0 − ε, x_0 + ε) = {x_0}$
3)Diciamo che $x_0$ è interno ad $X$ se esiste un intorno $I_r(x_0)$ di $x_0$ contenuto in $X$.
Dunque, chi mi può fare un esempio di ciascuna ...
Esercizio: Dire se la serie $sum_(k = 0)^(+oo) sqrt( 9^k + x^k ) - 3^k$ è totalmente convergente sull'intervallo $[-2,2]$.
Svolgimento:
Indichiamo per comodità $f_k (x) = sqrt( 9^k + x^k ) - 3^k$
Io ho ragionato come segue; poiché $ (f_k (x))/(x/3)^k -> 1/2$ per $k -> +oo$ e per $x in [-2 , 2]$ ($x != 0$), allora, fissato $delta > 0$ "abbastanza piccolo",
si ha che $(f_k (x))/(x/3)^k * (x/3)^k/(x/(3 - delta))^k = (f_k (x))/(x/3)^k * (( 3 - delta )/3)^k = (f_k (x))/(x/3)^k * (1 - delta/3)^k -> 1/2 * 0$ per $k -> +oo$. Ovvero:
Fissato $epsilon > 0 , EE k_0 in NN : AA k >= k_0$ risulti $| (f_k (x))/(x/(3 - delta))^k| < epsilon$ e, per $x != 0$, si ...
La serie in esame è la seguente
$(nln(n))/(n^2+1)^2$ = $suma$
Sto provando a determinarne il carattere con il criterio del confronto asintotico.
Ho provato a confrontarla con $sumb$ = 1/n^2, quindi facendo il limite:
$lim n->oo [(nln(n))/(n^2+1)^2/(1/n^2)] = 0$
quindi dato che $sumb$ converge, allora converge anche $suma$.
E' giusto?
$ z^6 + z^3 + i = 0 $
io inizierei ricrivendola come
$A^2 + A + i = 0 $
$ A = (-1 \pm sqrt(1 -4i))/ 2 $
e poi ponendo $ (a +bi)^2 = 1-4i $ ottenendo a e b che sono le due radici quadrate
non sono sicuro che sia l'approccio corretto.chi mi puo' dare un imput? soprattutto per come iniziare a trattare l' equazione della traccia , se e' da scomporre o altro
Salve a tutti,
sono assalita da un dubbio ( stupido) .
Se ho un integrale con x variabile tale che $0 < x<1/sqrt(2)$ e se cambio la variabile con $ t= sqrt(1-x^2)$ , in tal caso gli estremi del" nuovo " integrale non sono $ 1/(sqrt(2))<t<1 $?
Salve =)
ho visto che esistono gia dei topic aperti su questo argomento, ma nonostante li abbia letti non riesco a farmi una buona idea di come si riesca a sviluppare in serie di laurent una qualsivoglia funzione.
come prima cosa, avendo la funzione, trovo e classifico le singolarità. nel caso sia removibile mi riconduco interamente alla serie di taylor, nel caso di un polo di ordine n lo sviluppo di L. avrà n termini, nel caso di una essenziale lo sviluppo ha infiniti termini.
Le mie ...
Cari ragazzi,
un problema mi perseguita.
Come faccio a calcolare l'integrale su \(\displaystyle R \) della funzione $f_n(x)=e^{-nx^4}$ per poi calcolare il limite di tale integrale al divergere di $n$. Il risultato è 0. Non devo usare metodi numerici e ricorrere alle serie. L'unica idea che mi viene è cercare una funzione/successione maggiorante il cui integrale al divergere di $n$ fa zero.
1) Ho qualche problema con le coordinate polari.
Sò che, ad esempio: [math]x=\rho \cos \theta, y= \rho \sin \theta[/math] è una circonferenza, che [math]x=a cos t[/math][math] y=b sint[/math] è un ellisse ; [math]x=a cost,[/math][math] y=a sint,[/math][math] z=bt[/math] è un'elica etc. ma non sò riconoscere le varie figure quando sono nella forma [math] \rho= qualcosa[/math] tipo, giusto per fare un paio di esempi, [math]\rho=\sin \theta \cos \theta [/math] o [math]\rho=2[/math]. Ho cercato in diversi libri ed in internet ma non ho trovato nulla. Mi potreste dare una mano a capire le ...
Esercizio: Sia $f : RR -> RR$ convessa.
Se $x_1 < x_2 in RR$ e se $ f(x_1) <= f(x_2)$, allora $f$ è crescente su $[ x_2 , +oo [$.
Svolgimento:
Poiché non è richiesta la derivabilità di $f$ mi è venuto in mente un lemma che stabilisce che una condizione equivalente alla convessità è la seguente:
$AA x < y < z in RR$ si deve avere che $(f(y) - f(x))/(y - x) <= (f(z) - f(x))/(z - x) <= (f(z) - f(y))/(z - y)$
Scelgo altri due punti $xi < mu in [ x , +oo [$, e applico due volte il lemma (prendendo come punti prima ...
Volevo porvi una questione sulle funzioni uniformemente continue ed in particolare sul teorema di Cantor-Heine.
Il teorema è dimostrato per assurdo, con la negazione della tesi di uniforme continuità. Quindi:
\(\displaystyle \exists \varepsilon > 0 \) tale che \(\displaystyle \forall \delta > 0 \exists \) x1,x2 \(\displaystyle \epsilon \) dominio di f tali che |x1-x2|< \(\displaystyle \delta \) ma |f(x1) - f(x2)| > \(\displaystyle \varepsilon \).
Scegliendo \(\displaystyle \delta \) = 1/n ...
Non riesco a capire come risolvere questi limiti, usando i limiti notevoli.
$lim_(x->0)(xtan(3x))/(1-cos^3(2x))$ con risultato $1/2$
$lim_(x->0)(cos^2(2x)-cos^2(x))/(x^2)$ con ris $-3$
qualcuno può aiutarmi?
Salve, sono nuovo qui, ma spesso leggo topic che trovo molte volte utili per i miei studi universitari (fisica, 2°anno).
Volevo sentire il vostro parere su come svolgere praticamente questo esercizio (dal punto di vista concettuale mi sembra piuttosto immediato). L'esercizio è questo:
"Sia dato G:={(x,y)∈R2 |y=x^2,0≤x≤1}. Si provi che G⊂R2 ha misura esterna nulla."
Si tratta in pratica di dimostrare che il grafico di una funzione ha misura di Lebesgue nulla in R2. Ora mi chiedevo l'approccio ...
Salve! Per quale motivo la serie armonica $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\ 1/n$ diverge??? A me verrebbe da dire convergente... $\lim_{n \to \infty}1/n $ tende a zero!
Ciao a tutti, volevo chiedervi se secondo voi ho risolto bene questo esercizio.
Classificare le singolarità della seguente funzione:
$f(z)=(1-cos(2z))/(z^4sin(1/(z+1)))$
Io ho sviluppato con McLaurin il seno:
$sin(1/(z+1))=sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k1/((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)$
Sostituendo, ottengo:
$f(z) = sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)(1-cos(2z))/z^4$
Quindi l'unica singolarità da studiare è quella in $z=0$.
Ho provato a fare
$lim_(z->0)f(z)=lim_(z->0)sum_(k=0)^(+oo)phi(z,k)(1-cos(2z))/z^4$
con $phi(z,k) = (-1)^k((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)$
Allora:
$lim_(z->0)phi(z,k) = alpha < oo$
Mentre per fare
$lim_(z->0)(1-cos(2z))/z^4$
ho applicato de l'Hopital. Posso farlo in quanto ...
Ciao, in questi giorni ho provato a risolvere qualche limite ma mi sono imbattuta nel seguente:
$ lim_{n rightarrow +infty} (n^3 arctg[1- (frac{2^n +n+1}{2^n+1})^{sqrt{n+cos n}}])$
L'argomento dell'arcotangente tende a 0 come è facile vedere, infatti:
$ (frac{2^n +n+1}{2^n+1})^{sqrt{n+cos n}}=(1+frac{n }{2^n+1})^{sqrt{n+cos n}}=(1+frac{1}{frac{2^n+1}{n }})^{frac{2^n+1}{n }cdot frac{n}{2^n+1}sqrt{n+cos n}} $
il quale tende a 1.
Quindi siamo in presenza di una forma indeterminata $0 cdot infty$.
Dopo aver verificato questo ho cercato di calcolare il valore del limite notando che l'esponente aveva lo stesso comportamento di $sqrt n$ e che il numeratore e il denominatore della frazione ...
Per dimostrare che la funzione $f(x) := sum_(k=0)^(+oo) (3/4)^k * sin( 4^k x )$ non è derivabile in nessun punto $x in RR$ come si potrebbe procedere?
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