Formule Gauss-Green polari.....
Carissimi ragazzi, nell'applicazione delle rinomate formule di Gauss-Green, mi son ritrovato ad applicarle ad una curva parametrizzata con coordinate polari; pertanto mi son chiesto se esistesse una loro "versione ufficiale" per le coordinate polari, oppure era un conto da fare puramente a mano. Ringrazio anticipatamente per la collaborazione. 
Risposte
Mmmmm.... ho la sensazione di averti già risposto una volta su questo argomento, vero? Parti dalla formula completa
$\int\int_D dx\ dy=1/2 \int_{\partial D}(x\ dy-y\ dx)$
per il calcolo dell'area di $D$ ed effettua, in essa, il cambiamento di variabile polare $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$. Allora
$x\ dy-y\ dx=\rho\cos\theta(\sin\theta\ d\rho+\rho\cos\theta\ d\theta)-\rho\sin\theta(\cos\theta\ d\rho-\rho\sin\theta\ d\theta)=\rho^2\ d\theta$
e pertanto, se $\rho=\rho(\theta):[a,b]\rightarrow RR^2$ è una curva in coordinate polari che delimita il bordo del dominio $D$, allora
$\int\int_D\ dx\ dy=1/2\int_a^b\rho^2\ d\theta$
$\int\int_D dx\ dy=1/2 \int_{\partial D}(x\ dy-y\ dx)$
per il calcolo dell'area di $D$ ed effettua, in essa, il cambiamento di variabile polare $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$. Allora
$x\ dy-y\ dx=\rho\cos\theta(\sin\theta\ d\rho+\rho\cos\theta\ d\theta)-\rho\sin\theta(\cos\theta\ d\rho-\rho\sin\theta\ d\theta)=\rho^2\ d\theta$
e pertanto, se $\rho=\rho(\theta):[a,b]\rightarrow RR^2$ è una curva in coordinate polari che delimita il bordo del dominio $D$, allora
$\int\int_D\ dx\ dy=1/2\int_a^b\rho^2\ d\theta$
Non credo, ciampax, di aver mai postato a riguardo. Comunque grazie di tutto, imparando quella formula mi risparmi di volta in volta il conto a mano.
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