Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Ciao a tutti, non so se è corretta la mia risoluzione di questo esercizio. Controllate per favore e ditemi se è corretto e se vi è anche una strada alternativa e più veloce.
Grazie in anticipo!
Calcolare il valore dell'integrale improprio $ int_(-8 / 3 )^(1 / 3 ) ( x+5 ) / ( sqrt(3x+8) ) dx $
l'ho risolto così
$ f(x)= ( x+5 ) / ( sqrt(3x+8) ) $, il suo dominio è \(\displaystyle \left(-\frac{8}{3};+\infty\right) \)
calcolo $ lim_(c -> -8 / 3 ) int_(c)^(1 / 3 ) f(x) dx$
faccio la sostituzione $ sqrt(3x+8) =t \rightarrow 3x+8=t^2 \rightarrow x=(t^2-8)/(3) \rightarrow dx=2/3 t$
$2/3 int_(c)^(1 / 3 ) (t^2-8)/(3) +5 dt = 2/9 int_(c)^(1 / 3 ) t^2+7 dt= int_(c)^(1 / 3 ) 2/27 t^3+14/9 t = lim_(c -> -8 / 3 ) [2/27 (sqrt(3x+8))^3+14/9 sqrt(3x+8)]_{c}^{1/3}=$
$=lim_(c -> -8 / 3 ) ([2/27(sqrt(1+8))^3+14/9 sqrt(1+8)]-[2/27(sqrt(3c+8))^3+14/9 sqrt(3c+8)])=2+14/3=20/3$
Salve a tutti,
ho iniziato ad affrontare esercizi sulle serie di funzioni e vorrei un vostro aiuto per risolvere un paio di esercizi: devo determinare l'insieme di convergenza delle seguenti serie:
$sum_(n=1)^(oo)(1-cos^nx)/(n^3+n^2)$
$sum_(n=1)^(oo)(x^(2n)+2x^n)/n$
per ora per svolgere questi esercizi in tutti quelli fatti durante il corso abbiamo usato solo il criterio del rapporto, della radice e la maggiorazione (in particolare per dimostrare la convergenza totale). Inoltre mi chiedo esistono altri modi per determinare ...
Ragazzi mi trovo a dover tracciare il grafico di \[f(x) = \left| {\ln (x)} \right|\]
derivo e ottengo \[f'(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1/x\quad se\quad x > 0}\\
{non\,derivabile\;se\;x = 0}\\
{ - 1/x\quad se\quad x < 0}
\end{array}} \right.\]
-per \[{x > 1}\] la funzione cresce strettamente come se fosse \[f(x) = \ln (x)\]
-per \[0 < x < 1\] la funzione decresce strettamente come se fosse \[f(x) = - \ln (x)\]
-per \[{x < 0}\] certamente cresce perché me lo dice la derivata ...
salve a tutti,
avrei un dubbio con un esercizio. la traccia mi chiede di risolvere in campo complesso l'equazione z^3+|z|^2-12=0
probabilmente è semplicissimo e sono io che mi sto complicando le cose. io ho provato a risolvere sostituendo z=x+iy , semplificando tutto e giungendo a mettere a sistema, eguagliando a zero, parte reale e parte immaginaria. questo metodo però mi sembra troppo contorto applicato in questo caso, e pensavo fosse possibile risolvere utilizzando la formula per le radici ...
Devo risolvere per sostituzione l’integrale
∫ x/√(x^2-a^2 ) dx x=a coshk
Deve la sostituzione viene data la da l’esercizio.
Io l’ho risolto così:
∫ x/√(x^2-a^2 ) dx x=a coshk
dx=a sinh〖k dk〗
∫ (a coshk)/√(a^2 (cosh^k)^2-a^2 ) a sinhk dk =
∫(a^2 coshk sinhk)/(a sinhk ) ...
$y'=2xy/(1+x^2)+xy^3$ dividendo per $y^3$
Ponendo $z=y^(-2)$ e derivando ottengo $(y')/y^3=-(z')/2$ ottengo un'equazione lineare non omogenea
$-(z')/2=2xz/(1+x^2)+x$ e risolvendo ottengo
$z=1/(1+x^2)(c-(1+x^2)/3)^3$ ma dopo considendo che $y=+-sqrt(1/z)$... Quale segno devo scegliere ad esempio nella risoluzione di un problema di Cauchy? Qual è il metodo che si usa anche in base al teorema di esistenza e unicità?
Data l'equazione $y'=xy+xy^3$ mi trovo come soluzione finale ...
Ho una domanda riguardo questo metodo per risolvere equazione differenziali non omogenee di secondo grado.
Supponiamo di avere una equazione
$y''+2y'+y=f(t)$
per cui risolvendo l'equazione omogenea associata trovo che la soluzione del polinomio è
$\lambda=-1$
la soluzione dell'omogenea è quindi $u(t)=te^{-t}$. A questo punto, devo trovare una soluzione particolare della non omogenea. Se voglio usare il metodo delle variazioni delle costanti, per trovare l'unica ...
Ciao a tutti. Ho un esercizio di analisi matematica due e vorrei alcuni chiarimenti, se possibile.
mi viene data questa funzione:
f(x,y)= $sqrt(x)$ + $sqrt(x^2-y)$
Mi viene chiesto di verificare se è differenziabile o meno nel punto $(1,1)$.
Io so che, se le derivate parziali della funzione, esistono e sono continue nel punto $(1,1)$, allora la funzione è differenziabile. Giusto?
Calcolo dunque le derivate parziali:
$(delf)/(delx) = 1/[2sqrt(x)] + x/sqrt(x^2-y)$
Subito mi accorgo che ...
Ciao a tutti
Non trovo il mio errore nella risoluzione di questo integrale.
\(\displaystyle \int \sin{(2x)} \cos{(3x)} dx \)
Impiego l'integrazione per parti
\(\displaystyle \int f dg = fg - \int g df \)
imponendo
\(\displaystyle f = \cos{(3x)} \rightarrow f' = -3\sin{(3x)}\)
\(\displaystyle g' = \sin{(2x)} \rightarrow g = -\frac{1}{2}\cos{(2x)} \)
ottengo
\(\displaystyle \int \sin{(2x)} \cos{(3x)} dx = \cos{(3x)} \left (-\frac{1}{2}\cos{(2x)} \right ) - \int \left [-\frac{1}{2}\cos{(2x)} ...
Salve a tutti,
sto cercando di risolvere degli esercizi che richiedono di trovare i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti per una funzione di due variabili e vorrei alcuni chiarimenti. Inizio col distinguere due casi: quando la funzione è definita in un insieme compatto e quando, invece, è definita in un insieme illimitato.
Se la funzione è definita in un insieme compatto controllo che sia continua in tale insieme in modo tale che per il teorema di Weierstrass posso affermare che essa ...
Ciao a tutti, la settimana scorsa ho sostenuto un test all'università; includeva un integrale doppio $ int int (e^(24x)+e^(24y))e^(12(x+y))dxdy $ da calcolare nel dominio:$ {e^(24x)+e^(24y)<=1} $.
Il calcolo dell'integrale non penso di averlo sbagliato, cioè la sua primitiva dovrebbe essere $ (e^(36x)/36)(e^(12y)/12)+(e^(12x)/12)(e^(36y)/36) $ mentre col dominio ho trovato difficoltà, perchè abituato sempre a ritrovarmi di fronte uno spazio delimitato da una circonferenza o ellissi o parabola e loro combinazione e non funzioni esponenziali.
Ovviamente sia la x ...
Salve a tutti, ho questo limite:
$lim_(x->+infty) (logx)^log(x)/e^x$
Riscrivo in una forma più decente ( almeno sulla carta):
$lim_(x->+infty) e^(log(x)*log(logx))/e^x$
Adesso il problema è stabilire quale tra i 2 esponenti delle 2 $e$ è il più "cattivo" quindi ho pensato di guardare questo limite:
$lim_(x->+infty) (log(x)*log(log(x)))/x$
è una forma indeterminata quindi uso il marchese ed ottengo:
$lim_(x->+infty) 1/x*1/(x*log(x))$
$lim_(x->+infty) 1/(x^2*log(x))=0$
Quindi ho appurato che:
$lim_(x->+infty) (log(x)*log(log(x)))/x=0$
Quindi posso dedurre che il limite di partenza tende a ...
Ciao, amici!
Il mio libro di analisi propone un esercizio che mi ha un po' spiazzato... Data la funzione
\[f(x,y)=(y-x^2)(y-\frac{x^2}{2})\]
si tratta di osservare che $x=0$ è un minimo locale per tutte le funzioni $g_m(x)=f(x,mx)$ (il cui grafico direi che sia la curvatura sezionale lungo di direzione $(1,m)$), ma un punto di sella per $f$.
Ho verificato che $(0,0)$ è un minimo di $g_m(x)=(mx-x^2)(mx-x^2/2)$ per ogni $m$ e anche nella ...
Ciao a tutti mi sono imbattuto in questo limite, ma arrivo ad un punto che non so più andare avanti. Aiutatemi per favore.
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} (\sqrt[n]{1+n}-\sqrt[n]{n})^{\frac{1}{\ln n}} \)
per svolgerlo mi sono ricondotto alla forma \(\displaystyle e^{\ln} \), ma arrivo in un punto a cui non so più andare avanti.
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} \exp \ln((\sqrt[n]{1+n}-\sqrt[n]{n})^{\frac{1}{\ln n}}) =\lim_{n\rightarrow+\infty} \exp \left(\frac{1}{\ln n} ...
Ciao a tutti
Ho un dubbio sugli integrali impropri: l'integrale
\(\displaystyle \int_0^1{f(x)dx}= \int_0^1{\frac{1}{x}dx}\)
dato che \(\displaystyle f(x) \) non è definito nel punto 0, allora
\(\displaystyle \int_0^1{\frac{1}{x}dx} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \int_x^1{\frac{1}{t}dt} = \lim_{x \rightarrow 0^+} |\ln(t)|_x^1 = \lim_{x \rightarrow 0^+} (0-\ln x) = + \infty \)
oppure
\(\displaystyle \int_0^1{\frac{1}{x}dx} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{0+\epsilon}^1{\frac{1}{x}dx} = ...
Salve, è il mio primo post e spero che qualcuno possa darmi una mano.
Sto cercando di capire a fondo i criteri di convergenza delle serie numeriche e adesso mi sto lavorando il criterio del quoziente. Non d'Alembert. Quello che usa il criterio del confronto tra quozienti di termini consecutivi di due serie.
Ipotesi e tesi sono queste:
Se $sum\v_n$ converge e $sum\u_n$ è tale che $frac{u_(n+1)}{u_n}<=frac{v_(n+1)}{v_n}$ allora anche $sum\u_n$ converge.
La dimostrazione è breve. Dall'ipotesi, ...
Vorrei un piccolo chiarimento su questo teorema, brevemente: per quale motivo è posta come ipotesi la derivata parziale rispetto ad $y$ diversa da $0$ ?
Ciao, amici!
Sto cercando di dimostrare che la funzione di Bessel $J_v(sqrt(x^2+y^2))=\sum_{n=0}^{oo} (-1)^n/(2^(2n+v)n!(v+n)!) (sqrt(x^2+y^2))^(2n+v)$ risolve l'equazione agli autovalori $\Delta u(x,y)= (\partial^2u)/(\partialx^2)+(\partial^2u)/(\partialy^2)=-\lambdau(x,y)$ per qualche $\lambda$. Ho derivato termine a termine in coordinate polari -ottenendo gli stessi risultati che ho ottenuto con le cartesiane, che ho utilizzato per verifica- con $\Delta u(x,y) =u_(rr)(rcos\theta,rsin\theta)+r^-2u_(\theta\theta)(rcos\theta,rsin\theta)+r^-1u_r (rcos\theta,rsin\theta)$) -e così continuo perché è più sintetico scrivere con $r=sqrt(x^2+y^2)$- ed ottenuto che
$(\partial^2 J_v)/(\partial x^2)+(\partial^2 J_v)/(\partial y^2)= \sum_{n=0}^{oo} ((2n+v)(2n+v-1) (-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-2)+ r^-1 \sum_{n=0}^{oo}( (2n+v) (-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-1)$
$=\sum_{n=0}^{oo} ((2n+v)^2(-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-2)$ che non vedo come sia multiplo di ...
Salve a tutti. Volevo proporre due esercizi:
il primo chiede di calcolare il seguente integrale:
$ int_(1)^(2) ln(sqrt(1+t+t^2))/(t^3) $
Ho proceduto cercando di eliminare il logaritmo. Ho quindi integrato per parti scegliendo $1/t^3$ come derivata prima di una funzione nota. A quel punto ottengo un integrale che dipende da $t$ e da una radice. All'interno della stessa, con completamento di quadrato e raccoglimento, ho fatto in modo che comparisse qualcosa del tipo $z^2+1$ (con ...
Salve a tutti, volevo fare un po' di esercizi con la seguente intestazione:
Determinare se le seguenti funzioni sono iniettive. In caso affermaivo, determinare il valore della derivata prima della funzione inversa nel punto $(x_0, y_0)$ specificato.
Vediamo il primo:
$f(x)= e^{x^3}+2e^{arctg(3x)}-1$ punto (0,2)
e nella soluzione spiega: Poichè $f'(x)=3x^2e^{x^3}+\frac{6}{1+9x^2}>0$,$ x \in R$, ne segue che f è strettamente crescente in R, e quindi ivi iniettiva. Allora ...
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