Integrale improprio: esempio banale per capire
Ciao a tutti 
Ho un dubbio sugli integrali impropri: l'integrale
\(\displaystyle \int_0^1{f(x)dx}= \int_0^1{\frac{1}{x}dx}\)
dato che \(\displaystyle f(x) \) non è definito nel punto 0, allora
\(\displaystyle \int_0^1{\frac{1}{x}dx} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \int_x^1{\frac{1}{t}dt} = \lim_{x \rightarrow 0^+} |\ln(t)|_x^1 = \lim_{x \rightarrow 0^+} (0-\ln x) = + \infty \)
oppure
\(\displaystyle \int_0^1{\frac{1}{x}dx} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{0+\epsilon}^1{\frac{1}{x}dx} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} |\ln(x)|_{0+\epsilon}^1 = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} (0-\ln (0+\epsilon)) = + \infty \) , con ε > 0.
Poiché il risultato è \(\displaystyle +\infty \), si dice che l'integrale diverge.
Si può scrivere indistintamente in uno dei due modi sopra o questo è un caso particolare?
Ho un dubbio sugli integrali impropri: l'integrale
\(\displaystyle \int_0^1{f(x)dx}= \int_0^1{\frac{1}{x}dx}\)
dato che \(\displaystyle f(x) \) non è definito nel punto 0, allora
\(\displaystyle \int_0^1{\frac{1}{x}dx} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \int_x^1{\frac{1}{t}dt} = \lim_{x \rightarrow 0^+} |\ln(t)|_x^1 = \lim_{x \rightarrow 0^+} (0-\ln x) = + \infty \)
oppure
\(\displaystyle \int_0^1{\frac{1}{x}dx} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{0+\epsilon}^1{\frac{1}{x}dx} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} |\ln(x)|_{0+\epsilon}^1 = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} (0-\ln (0+\epsilon)) = + \infty \) , con ε > 0.
Poiché il risultato è \(\displaystyle +\infty \), si dice che l'integrale diverge.
Si può scrivere indistintamente in uno dei due modi sopra o questo è un caso particolare?
Risposte
Vale in generale:
$[f:(a,b]->RR] ^^ [lim_(x->a^+)f(x)=oo] rarr [\int_{a}^{b}f(x)dx=lim_(x->a^+)\int_{x}^{b}f(t)dt=lim_(epsilon->0^+)\int_{a+epsilon}^{b}f(x)dx]$
$[f:(a,b]->RR] ^^ [lim_(x->a^+)f(x)=oo] rarr [\int_{a}^{b}f(x)dx=lim_(x->a^+)\int_{x}^{b}f(t)dt=lim_(epsilon->0^+)\int_{a+epsilon}^{b}f(x)dx]$
Grazie speculor
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