Numeri complessi
salve a tutti,
avrei un dubbio con un esercizio. la traccia mi chiede di risolvere in campo complesso l'equazione z^3+|z|^2-12=0
probabilmente è semplicissimo e sono io che mi sto complicando le cose. io ho provato a risolvere sostituendo z=x+iy , semplificando tutto e giungendo a mettere a sistema, eguagliando a zero, parte reale e parte immaginaria. questo metodo però mi sembra troppo contorto applicato in questo caso, e pensavo fosse possibile risolvere utilizzando la formula per le radici n-sime, ma non riesco a muovermi. qualcuno saprebbe darmi una mano?
avrei un dubbio con un esercizio. la traccia mi chiede di risolvere in campo complesso l'equazione z^3+|z|^2-12=0
probabilmente è semplicissimo e sono io che mi sto complicando le cose. io ho provato a risolvere sostituendo z=x+iy , semplificando tutto e giungendo a mettere a sistema, eguagliando a zero, parte reale e parte immaginaria. questo metodo però mi sembra troppo contorto applicato in questo caso, e pensavo fosse possibile risolvere utilizzando la formula per le radici n-sime, ma non riesco a muovermi. qualcuno saprebbe darmi una mano?
Risposte
Formule algebriche non puoi usarne, perché l'equazione non è algebrica a causa della presenza di quel modulo quadro: il membro sinistro non è un polinomio. Allora devi scendere più in profondità nella struttura dei numeri complessi. Più che alla rappresentazione con parte reale e parte immaginaria io penserei alla decomposizione polare: scrivi \(z=re^{i \theta}\) e procedi.
io avevo scomposto il |z|^2 in $z*$$\bar{z}$ e sostituito z=x+iy e z=x-iy ecco perchè avevo optato per la forma algebrica. si avevo provato con la formula da te suggerita, ma il fatto è che non so come muovermi. non so dare i valori $\rho$ e $\theta$
Non devi "dare i valori \(\rho, \theta\)", ripassa bene la forma polare dei numeri complessi. E' la stessa cosa risolvere in \(z\) la tua equazione oppure risolvere in \(\rho, \theta\) quest'altra:
\[\rho^3e^{i3\theta}+\rho^2 -12=0.\]
Però quest'ultima è più facile, se ti ricordi che \(e^{i3\theta}=\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)\). E adesso resta solo da fare i conti.
\[\rho^3e^{i3\theta}+\rho^2 -12=0.\]
Però quest'ultima è più facile, se ti ricordi che \(e^{i3\theta}=\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)\). E adesso resta solo da fare i conti.
si è che avendo visto degli esercizi svolti venivano dati i valori al modulo e all'angolo ma era un'altra formula.. grazie mille, ora provo in questo modo!
Io farei la considerazione seguente .
Dall'equazione data si ha \(\displaystyle z^3=12-|z|^2 \)
Ora il secondo membro è certamente reale e tale deve essere anche il primo membro. Ne segue che
z è reale e poiché l'equazione assegnata ha la sola soluzione reale \(\displaystyle z=2 \) , questa è anche l'unica soluzione possibile . Che ne dite ?
Dall'equazione data si ha \(\displaystyle z^3=12-|z|^2 \)
Ora il secondo membro è certamente reale e tale deve essere anche il primo membro. Ne segue che
z è reale e poiché l'equazione assegnata ha la sola soluzione reale \(\displaystyle z=2 \) , questa è anche l'unica soluzione possibile . Che ne dite ?
Non è affatto vero che se $z^3 in RR$ allora $z in RR$.
Prendi $z= 1+isqrt3$. Viene $z^3= 10+6sqrt3$ che è reale.
Prendi $z= 1+isqrt3$. Viene $z^3= 10+6sqrt3$ che è reale.
@Gi8
Giusto...stavo appunto per cancellare il mio messaggio ma non ho trovato il tasto "Cancella"
Giusto...stavo appunto per cancellare il mio messaggio ma non ho trovato il tasto "Cancella"
L'ho trovato: è quella crocetta che sta in alto a destra !! 
"dissonance":
Non devi "dare i valori \(\rho, \theta\)", ripassa bene la forma polare dei numeri complessi. E' la stessa cosa risolvere in \(z\) la tua equazione oppure risolvere in \(\rho, \theta\) quest'altra:
\[\rho^3e^{i3\theta}+\rho^2 -12=0.\]
Però quest'ultima è più facile, se ti ricordi che \(e^{i3\theta}=\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)\). E adesso resta solo da fare i conti.
ho rivisto questa formula, ma i miei conti non tornano.potresti dirmi come svolgerli??
Hai (scrivo "r" al posto di \(\displaystyle \rho )\) :
\(\displaystyle r^3(\cos3\theta+j\sin3\theta)+r^2-12=0\)
Separando la parte reale da quella immaginaria risulta:
\(\displaystyle \begin{cases}r^3\sin3\theta=0\\r^3\cos3\theta+r^2-12=0\end{cases} \)
da cui :
\(\displaystyle \begin{cases}sin3\theta=0\\r^3\cos3\theta+r^2-12=0\end{cases} \)
Dalla prima equazione di quest'ultimo sistema hai: \(\displaystyle \theta=\frac{k\pi}{3} \) e sostituendo nella seconda equazione :
1) \(\displaystyle r^3\cos(k\pi) +r^2-12=0\)
Adesso occorre distinguere due casi : 1) k dispari=2h+1,2) k pari =2h
Nel primo caso abbiamo \(\displaystyle \theta=\frac{(2h+1)\pi}{3} \) con h=0,1,2 ( valori superiori si riportano a questi ).
Pertanto la (1) diventa :
\(\displaystyle r^3\cos(2h\pi+\pi)+r^2 -12=0 \) ovvero \(\displaystyle r^3-r^2+12=0 \) la cui unica soluzione reale è \(\displaystyle r=-2 \) non accettabile perché deve essere r>0.
Passando al secondo caso abbiamo \(\displaystyle \theta=\frac{2h\pi}{3} \) con h=0,1,2 e la (1) diventa :
\(\displaystyle r^3\cos(2h\pi)+r^2 -12=0 \) ovvero \(\displaystyle r^3+r^2-12=0 \) la cui unica soluzione reale è \(\displaystyle r=2 \) accettabile .
Abbiamo quindi le seguenti soluzioni:
\(\displaystyle \begin{cases} h=0 : z_1=2(\cos0+j\sin0)=2\\ h=1 : z_2=2\left(\cos(\frac{2\pi}{3})+j\sin(\frac{2\pi}{3})\right)=2\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt3}{2}\right)=-1+j\sqrt3 \\ h=2 : z_3=2\left(\cos(\frac{4\pi}{3})+j\sin(\frac{4\pi}{3})\right)=2\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt3}{2}\right)=-1-j\sqrt3 \end{cases} \)
\(\displaystyle r^3(\cos3\theta+j\sin3\theta)+r^2-12=0\)
Separando la parte reale da quella immaginaria risulta:
\(\displaystyle \begin{cases}r^3\sin3\theta=0\\r^3\cos3\theta+r^2-12=0\end{cases} \)
da cui :
\(\displaystyle \begin{cases}sin3\theta=0\\r^3\cos3\theta+r^2-12=0\end{cases} \)
Dalla prima equazione di quest'ultimo sistema hai: \(\displaystyle \theta=\frac{k\pi}{3} \) e sostituendo nella seconda equazione :
1) \(\displaystyle r^3\cos(k\pi) +r^2-12=0\)
Adesso occorre distinguere due casi : 1) k dispari=2h+1,2) k pari =2h
Nel primo caso abbiamo \(\displaystyle \theta=\frac{(2h+1)\pi}{3} \) con h=0,1,2 ( valori superiori si riportano a questi ).
Pertanto la (1) diventa :
\(\displaystyle r^3\cos(2h\pi+\pi)+r^2 -12=0 \) ovvero \(\displaystyle r^3-r^2+12=0 \) la cui unica soluzione reale è \(\displaystyle r=-2 \) non accettabile perché deve essere r>0.
Passando al secondo caso abbiamo \(\displaystyle \theta=\frac{2h\pi}{3} \) con h=0,1,2 e la (1) diventa :
\(\displaystyle r^3\cos(2h\pi)+r^2 -12=0 \) ovvero \(\displaystyle r^3+r^2-12=0 \) la cui unica soluzione reale è \(\displaystyle r=2 \) accettabile .
Abbiamo quindi le seguenti soluzioni:
\(\displaystyle \begin{cases} h=0 : z_1=2(\cos0+j\sin0)=2\\ h=1 : z_2=2\left(\cos(\frac{2\pi}{3})+j\sin(\frac{2\pi}{3})\right)=2\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt3}{2}\right)=-1+j\sqrt3 \\ h=2 : z_3=2\left(\cos(\frac{4\pi}{3})+j\sin(\frac{4\pi}{3})\right)=2\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt3}{2}\right)=-1-j\sqrt3 \end{cases} \)
"vittorino70":
Hai (scrivo "r" al posto di \(\displaystyle \rho )\) :
\(\displaystyle r^3(\cos3\theta+j\sin3\theta)+r^2-12=0\)
Separando la parte reale da quella immaginaria risulta:
\(\displaystyle \begin{cases}r^3\sin3\theta=0\\r^3\cos3\theta+r^2-12=0\end{cases} \)
da cui :
\(\displaystyle \begin{cases}sin3\theta=0\\r^3\cos3\theta+r^2-12=0\end{cases} \)
Dalla prima equazione di quest'ultimo sistema hai: \(\displaystyle \theta=\frac{k\pi}{3} \) e sostituendo nella seconda equazione :
1) \(\displaystyle r^3\cos(k\pi) +r^2-12=0\)
Adesso occorre distinguere due casi : 1) k dispari=2h+1,2) k pari =2h
Nel primo caso abbiamo \(\displaystyle \theta=\frac{(2h+1)\pi}{3} \) con h=0,1,2 ( valori superiori si riportano a questi ).
Pertanto la (1) diventa :
\(\displaystyle r^3\cos(2h\pi+\pi)+r^2 -12=0 \) ovvero \(\displaystyle r^3-r^2+12=0 \) la cui unica soluzione reale è \(\displaystyle r=-2 \) non accettabile perché deve essere r>0.
Passando al secondo caso abbiamo \(\displaystyle \theta=\frac{2h\pi}{3} \) con h=0,1,2 e la (1) diventa :
\(\displaystyle r^3\cos(2h\pi)+r^2 -12=0 \) ovvero \(\displaystyle r^3+r^2-12=0 \) la cui unica soluzione reale è \(\displaystyle r=2 \) accettabile .
Abbiamo quindi le seguenti soluzioni:
\(\displaystyle \begin{cases} h=0 : z_1=2(\cos0+j\sin0)=2\\ h=1 : z_2=2\left(\cos(\frac{2\pi}{3})+j\sin(\frac{2\pi}{3})\right)=2\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt3}{2}\right)=-1+j\sqrt3 \\ h=2 : z_2=2\left(\cos(\frac{4\pi}{3})+j\sin(\frac{4\pi}{3})\right)=2\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt3}{2}\right)=-1-j\sqrt3 \end{cases} \)
grazie mille,chiarissimo. ma il mio dubbio è sempre relativo al fatto che ho visto parecchi esercizi svolti utilizzando la formula postata da dissonance, ma in nessuno venivano svolti i passaggi come da te riportati, non so perchè omessi o perchè viene utilizzato un altro metodo. infatti se non sbaglio in questo caso hai sempre annullato nel sistema parte reale e parte immaginaria, come facevo io utilizzando però la forma algebrica.
Se posso permettermi @crimsonk, il trucco di uguagliare a zero parte reale e parte immaginaria del primo membro di un'equazione $f(z)=0$ funziona indipendentemente da come esprimi il numero complesso $z$, se in forma algebrica o se in quella trigonometrica, si sceglie quella che rende i calcoli più elementari.
@crimsonk: Il procedimento di vittorino è corretto. Ma non dirmi che non ci potevi arrivare. Possibile che tu non avessi fatto proprio niente? Posta sempre i tuoi passaggi, non aspettare che qualcuno li faccia per te, è questo lo spirito del nostro forum.
"dissonance":
@crimsonk: Il procedimento di vittorino è corretto. Ma non dirmi che non ci potevi arrivare. Possibile che tu non avessi fatto proprio niente? Posta sempre i tuoi passaggi, non aspettare che qualcuno li faccia per te, è questo lo spirito del nostro forum.
visto che è la mia prima volta su questo forum non sapevo come scrivere le formule, quindi sarebbe stato complicato esprimere i miei passaggi che in ogni caso non mi portavano a nessun risultato.
Temo che (magari mi sbaglio ) crimsonk non abbia chiaro perchè si eguagli a zero la parte reale e anche quella immaginaria.
Deriva dal principio di identità dei polinomi : due polinomi sono identici se hanno uguali i coefficienti dei termini di pari grado .
Ad esempio se si ha :
$x+3iy -x^2 +iy^2=0 $
che riscrivo $ (x-x^2) +i(3y+y^2)=0 $ avendo separato parte reale da parte immaginaria.
Quindi il numero complesso a primo membro deve essere uguale al numero complesso a secondo mebro che posso scrivere come $0+i 0$.
Perchè l'equazione sis soddisfatta devono essere uguali le parti reali e quelle immaginarie, da cui :
$x-x^2=0 $
$3y+y^2=0$ etc etc.
Deriva dal principio di identità dei polinomi : due polinomi sono identici se hanno uguali i coefficienti dei termini di pari grado .
Ad esempio se si ha :
$x+3iy -x^2 +iy^2=0 $
che riscrivo $ (x-x^2) +i(3y+y^2)=0 $ avendo separato parte reale da parte immaginaria.
Quindi il numero complesso a primo membro deve essere uguale al numero complesso a secondo mebro che posso scrivere come $0+i 0$.
Perchè l'equazione sis soddisfatta devono essere uguali le parti reali e quelle immaginarie, da cui :
$x-x^2=0 $
$3y+y^2=0$ etc etc.
Si vede subito per sostituzione che una soluzione è \(z=2\) le altre si ottengono per abbassamento di grado.
@dissonance: una sostituzione $(x+iy)^3+(x^2+y^2)-12=0$ non si poteva fare?
Si, certo. Però così devi sviluppare il cubo del binomio. Per il resto ti vengono gli stessi conti di vittorino, solo che in rappresentazione cartesiana anziché in rappresentazione polare.
Non capisco perchè complicate una cosa molto elementare. L'equazione \( z^3+z^2-12=0 \) ammette la radice \(z_1=2\) infatti:
\(2^3+2^2-12=8+4-12=12-12=0 \), quindi il polinomio \( z^3+z^2-12 \) è divisibile per \(z-2\); effettuando la divisione otteniamo:
\(\left(z-2\right)\left( z^2+3z+6\right)=0\), quindi le rimanenti radici si ottengono risolvendo l'equazione di grado 2:
\(z^2+3z+6=0\). Applicando la formula risolutiva ricaviamo facilmente:
\( z_{2,3}=\frac{-3 \pm \sqrt{15}i}{2} \)
\(2^3+2^2-12=8+4-12=12-12=0 \), quindi il polinomio \( z^3+z^2-12 \) è divisibile per \(z-2\); effettuando la divisione otteniamo:
\(\left(z-2\right)\left( z^2+3z+6\right)=0\), quindi le rimanenti radici si ottengono risolvendo l'equazione di grado 2:
\(z^2+3z+6=0\). Applicando la formula risolutiva ricaviamo facilmente:
\( z_{2,3}=\frac{-3 \pm \sqrt{15}i}{2} \)
No, no attenzione.
NON è:
\[z^3+z^2-12=0.\]
Invece è:
\[z^3+\lvert z\rvert^2-12=0.\]
E' molto diverso, perché la prima è una equazione algebrica (nel senso che il membro sinistro è un polinomio) mentre la seconda no. Ecco perché occorre sporcarsi le mani con parte reale e parte immaginaria oppure con modulo e fase.
NON è:
\[z^3+z^2-12=0.\]
Invece è:
\[z^3+\lvert z\rvert^2-12=0.\]
E' molto diverso, perché la prima è una equazione algebrica (nel senso che il membro sinistro è un polinomio) mentre la seconda no. Ecco perché occorre sporcarsi le mani con parte reale e parte immaginaria oppure con modulo e fase.
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