Teorema del Dini sulle funzioni implicite

[ekans1]

Vorrei un piccolo chiarimento su questo teorema, brevemente: per quale motivo è posta come ipotesi la derivata parziale rispetto ad $y$ diversa da $0$ ?

[dissonance]

Il modo migliore per capire bene questa ipotesi è studiare la dimostrazione. In effetti ci sono varie dimostrazioni del teorema del Dini: io mi riferisco a quella "geometrica", relativa al caso base di singole equazioni con due sole incognite: \(f(x, y)=0\). Ci sono poi versioni del teorema per il caso completamente generale (sistemi di equazioni con un numero qualsiasi di incognite), ma l'idea è tutta nel caso base.

Puoi trovare questa dimostrazione in tutti i testi buoni di Analisi matematica 2: ad esempio c'è nel Marcellini-Sbordone e nel Bramanti-Salsa-Pagani (nel volume 1, settimo capitolo).