Analisi matematica di base

Ciao, amici! Il mio libro di analisi propone un esercizio che mi ha un po' spiazzato... Data la funzione \[f(x,y)=(y-x^2)(y-\frac{x^2}{2})\] si tratta di osservare che $x=0$ è un minimo locale per tutte le funzioni $g_m(x)=f(x,mx)$ (il cui grafico direi che sia la curvatura sezionale lungo di direzione $(1,m)$), ma un punto di sella per $f$. Ho verificato che $(0,0)$ è un minimo di $g_m(x)=(mx-x^2)(mx-x^2/2)$ per ogni $m$ e anche nella ...

Ciao a tutti mi sono imbattuto in questo limite, ma arrivo ad un punto che non so più andare avanti. Aiutatemi per favore. \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} (\sqrt[n]{1+n}-\sqrt[n]{n})^{\frac{1}{\ln n}} \) per svolgerlo mi sono ricondotto alla forma \(\displaystyle e^{\ln} \), ma arrivo in un punto a cui non so più andare avanti. \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} \exp \ln((\sqrt[n]{1+n}-\sqrt[n]{n})^{\frac{1}{\ln n}}) =\lim_{n\rightarrow+\infty} \exp \left(\frac{1}{\ln n} ...

Ciao a tutti Ho un dubbio sugli integrali impropri: l'integrale \(\displaystyle \int_0^1{f(x)dx}= \int_0^1{\frac{1}{x}dx}\) dato che \(\displaystyle f(x) \) non è definito nel punto 0, allora \(\displaystyle \int_0^1{\frac{1}{x}dx} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \int_x^1{\frac{1}{t}dt} = \lim_{x \rightarrow 0^+} |\ln(t)|_x^1 = \lim_{x \rightarrow 0^+} (0-\ln x) = + \infty \) oppure \(\displaystyle \int_0^1{\frac{1}{x}dx} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{0+\epsilon}^1{\frac{1}{x}dx} = ...

Salve, è il mio primo post e spero che qualcuno possa darmi una mano. Sto cercando di capire a fondo i criteri di convergenza delle serie numeriche e adesso mi sto lavorando il criterio del quoziente. Non d'Alembert. Quello che usa il criterio del confronto tra quozienti di termini consecutivi di due serie. Ipotesi e tesi sono queste: Se $sum\v_n$ converge e $sum\u_n$ è tale che $frac{u_(n+1)}{u_n}<=frac{v_(n+1)}{v_n}$ allora anche $sum\u_n$ converge. La dimostrazione è breve. Dall'ipotesi, ...

Vorrei un piccolo chiarimento su questo teorema, brevemente: per quale motivo è posta come ipotesi la derivata parziale rispetto ad $y$ diversa da $0$ ?

Ciao, amici! Sto cercando di dimostrare che la funzione di Bessel $J_v(sqrt(x^2+y^2))=\sum_{n=0}^{oo} (-1)^n/(2^(2n+v)n!(v+n)!) (sqrt(x^2+y^2))^(2n+v)$ risolve l'equazione agli autovalori $\Delta u(x,y)= (\partial^2u)/(\partialx^2)+(\partial^2u)/(\partialy^2)=-\lambdau(x,y)$ per qualche $\lambda$. Ho derivato termine a termine in coordinate polari -ottenendo gli stessi risultati che ho ottenuto con le cartesiane, che ho utilizzato per verifica- con $\Delta u(x,y) =u_(rr)(rcos\theta,rsin\theta)+r^-2u_(\theta\theta)(rcos\theta,rsin\theta)+r^-1u_r (rcos\theta,rsin\theta)$) -e così continuo perché è più sintetico scrivere con $r=sqrt(x^2+y^2)$- ed ottenuto che $(\partial^2 J_v)/(\partial x^2)+(\partial^2 J_v)/(\partial y^2)= \sum_{n=0}^{oo} ((2n+v)(2n+v-1) (-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-2)+ r^-1 \sum_{n=0}^{oo}( (2n+v) (-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-1)$ $=\sum_{n=0}^{oo} ((2n+v)^2(-1)^n)/(2^(2n+v)n!(v+n)!) r^(2n+v-2)$ che non vedo come sia multiplo di ...

Salve a tutti. Volevo proporre due esercizi: il primo chiede di calcolare il seguente integrale: $ int_(1)^(2) ln(sqrt(1+t+t^2))/(t^3) $ Ho proceduto cercando di eliminare il logaritmo. Ho quindi integrato per parti scegliendo $1/t^3$ come derivata prima di una funzione nota. A quel punto ottengo un integrale che dipende da $t$ e da una radice. All'interno della stessa, con completamento di quadrato e raccoglimento, ho fatto in modo che comparisse qualcosa del tipo $z^2+1$ (con ...

Salve a tutti, volevo fare un po' di esercizi con la seguente intestazione: Determinare se le seguenti funzioni sono iniettive. In caso affermaivo, determinare il valore della derivata prima della funzione inversa nel punto $(x_0, y_0)$ specificato. Vediamo il primo: $f(x)= e^{x^3}+2e^{arctg(3x)}-1$ punto (0,2) e nella soluzione spiega: Poichè $f'(x)=3x^2e^{x^3}+\frac{6}{1+9x^2}>0$,$ x \in R$, ne segue che f è strettamente crescente in R, e quindi ivi iniettiva. Allora ...

Ciao, amici! Sto studiando la differenziabilità nell'origine della funzione definita come \[f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin^2(\sqrt{xy})}{y}, & x>0 \wedge y>0\\ x, & x \le 0 \vee y \le 0 \end{array} \right.\] Mi parrebbe ovvio che si debba verificare che $f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k=o(sqrt{h^2+k^2})$ per $(h,k)->(0,0)$, cioè (avendo calcolato, con risultato identico a quello dato come soluzione dal libro, $f_x(0,0)=1$ e $f_y(0,0)=0$, mentre è immediato vedere che $f(0,0)=0$) che ...

Ciao, scrivo per un semplice dubbio circa la classificazione di un tipo di punto di discontinuità. La funzione $ y=e^{frac{1}{ln x}} $ ha per $x=0$ un punto di discontinuità. Secondo me questo dovrebbe essere un punto di discontinuità di II specie in quanto $lim_{x rightarrow 0^-}e^{frac{1}{ln x}} $ non esiste. Invece su alcuni testi è classificato come discontinuità di terza specie (eliminabile) perchè $lim_{x rightarrow 0^+}e^{frac{1}{ln x}}=1 $.. Ma non dovrebbe bastare la non esistenza del limite sinistro (a prescindere dal valore del ...

Ho una successione di funzione $f_k (x)$ devo verificare che non converge uniformemente in un intervallo $[a;+oo)$ e dimostrare che converge uniformemente in un intervallo $[b;+oo)$ dove $b>a$ e so che non converge uniformemente nell'intervallo $[a;b]$ la mia domanda è: esiste un teorema che dice che se un intervallo viene 'sporcato' da un insieme in cui la $f_k$ non converge uniformemente, anche esso non convergerà uniformemente?

Può darsi che la cosa sia di una banalità disarmante, ma al momento mi sfugge. È possibile dimostrare che: \[ \int_0^1 \frac{1}{t}\ \text{d} t =+\infty \] usando solo la definizione di integrale, cioè senza usare il fatto che \(1/t =(\ln t)^\prime\)? Se prendo una partizione \(D=\{x_0

Salve a tutti, eccomi alle prese con i miei limiti $lim_(x->0^(+)) (1-(1-7x)^log(x))/((e^(2x)-1)log(x^3))$ Questo non ho proprio idea di come provare a svolgerlo... Avevo pensato di scrivere cosi il limite: $lim_(x->0^(+)) 1/((e^(2x)-1)log(x^3))-e^(log(x)*log(1-7x))/((e^(2x)-1)log(x^3))$ Però non riesco a ricondurmi ad una forma decente neanche se provo ad usare gli sviluppi di Mclaurin, quindi non so proprio come risolverlo...

Ciao a tutti Non sono sicuro di aver effettuato in maniera corretta il calcolo di questo limite, anche se il risultato che mi viene non è un mostro \(\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,1)}\frac{(y-1)^2 \sin{(\pi x)}}{(x-2)^2 + (y-1)^2}\) Passando alle coordinate polari impongo \(\displaystyle \begin{cases} x = 2 + \rho \cos \theta \\ y = 1 + \rho \sin \theta \end{cases} \) Ottengo \(\displaystyle \frac{(y^2 +1 - 2y) \sin{(\pi x)}}{(x^2+4-2x) + (y^2+1-2y)} = \) \(\displaystyle = ...

Sia \(\displaystyle f : [a, +\infty [ \to \mathbb{R}\) una funzione continua e derivabile su tutto l'intervallo di definizione. Viene chiesto di provare che, se \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)=f(a) \), allora \(\displaystyle \exists \ \xi > a \) t.c. \(\displaystyle f'(\xi)=0 \). Chiaramente, la prima cosa che mi è venuta in mente è stata di utilizzare globalmente il teorema di Rolle in qualche modo, ma poi ho preceduto come segue: Caso 1: la funzione è costante, quindi la ...

Siano [tex]F,G \colon \mathbb R^{n} \to \mathbb{R}^{n}[/tex] campi vettoriali di classe $C^1$. Si mostri con un esempio che la condizione di uguaglianza dei flussi \[ \int_{\partial \Omega} F \cdot \nu \mathrm{d}\sigma = \int_{\partial \Omega} G \cdot \nu \mathrm{d}\sigma \] per ogni dominio [tex]\Omega[/tex] limitato e con frontiera $C^{1}$ non implica in generale che $F-G$ è costante. Si mostri invece che se $F,G$ sono irrotazionali ...

Salve! Premesso che ho già cercato nel forum senza trovare nulla vi espongo il mio problema. Ho una forma differenziale chiusa w. Il suo dominio è R^2-{-1,-2}. Ora io devo trovare una curva L tale che l'integrale esteso a L di w sia 0. Sulle dispense della prof dice che è il cerchio di centro (-1,-2) e raggio 1. Su altri esercizi simili trovo ellissi come curve. Il quesito è, come trovo la curva che mi permetta di avere quell'integrale = 0?

ciao a tutti ragazzi potete darmi una mano per riuscire a massimizzare questo modulo? $| -0,00496 *e^(-j18849,5) *e^(-j1,57)*cos (alpha)-0,02 *e^(-j18849,5)*sen(alpha)|$ cioè dovrei trovare la $alpha$ per la quale si massimizza questo modulo

Ciao a tutti! Qualcuno saprebbe dirmi perché l'"anomalia" viene appunto chiamata così? Grazie

ciao a tutti, ho un problema col definire il più ampio intervaqllo di soluzioni diun'equazione differenziale. in pratica non capisco se il mio procedimento è giusto. In pratica io inizialmente mi calcolo il dominio iniziale della mia eq differenziale.Supponendo che sia questa: $y'=y/x$ allora avrò che $x!=0$. Poi per calcolarmi l'intervallo faccio praticamente l'intersezione tra dominio iniziale e dominio finale della soluzione.Supponendo che ad esempio la soluzione finale ...