\(\displaystyle \int \sin{(2x)} \cos{(3x)} dx \)

[Brancaleone1]

Ciao a tutti
Non trovo il mio errore nella risoluzione di questo integrale.

\(\displaystyle \int \sin{(2x)} \cos{(3x)} dx \)

Impiego l'integrazione per parti
\(\displaystyle \int f dg = fg - \int g df \)

imponendo
\(\displaystyle f = \cos{(3x)} \rightarrow f' = -3\sin{(3x)}\)
\(\displaystyle g' = \sin{(2x)} \rightarrow g = -\frac{1}{2}\cos{(2x)} \)

ottengo

\(\displaystyle \int \sin{(2x)} \cos{(3x)} dx = \cos{(3x)} \left (-\frac{1}{2}\cos{(2x)} \right ) - \int \left [-\frac{1}{2}\cos{(2x)} (-3\sin{(3x)}) \right ] dx = \)
\(\displaystyle = -\frac{1}{2}\cos{(2x)}\cos{(3x)} -\frac{3}{2} \int \left [\cos{(2x)}\sin{(3x)} \right ] dx \)

e imponendo ora
\(\displaystyle f = \sin{(3x)} \rightarrow f' = 3\cos{(3x)}\)
\(\displaystyle g' = \cos{(2x)} \rightarrow g = -\frac{1}{2}\sin{(2x)} \)

ottengo

\(\displaystyle = -\frac{1}{2}\cos{(2x)}\cos{(3x)} -\frac{3}{2} \left \{ \sin{(3x)} \left [ -\frac{1}{2}\sin{(2x)} \right ] - \int \left [ -\frac{1}{2} \sin{(2x)} \cdot 3\cos{(3x)}\right ] dx \right \} = \)
\(\displaystyle = -\frac{1}{2}\cos{(2x)}\cos{(3x)} +\frac{3}{4} \sin{(2x)}\sin{(3x)} - \frac{9}{4} \int \left [ \sin{(2x)}\cos{(3x)} \right ] dx \)

Ora l'ultimo integrale è identico all'originale. Imponendo
\(\displaystyle I = \int \sin{(2x)}\cos{(3x)} dx\)

ottengo (inserendo una costante arbitraria c)
\(\displaystyle I = -\frac{1}{2}\cos{(2x)}\cos{(3x)} +\frac{3}{4} \sin{(2x)}\sin{(3x)} - \frac{9}{4} I +c\)
\(\displaystyle I + \frac{9}{4} I = -\frac{1}{2}\cos{(2x)}\cos{(3x)} +\frac{3}{4} \sin{(2x)}\sin{(3x)} +c\)
\(\displaystyle \frac{13}{4} I = -\frac{1}{2}\cos{(2x)}\cos{(3x)} +\frac{3}{4} \sin{(2x)}\sin{(3x)} +c\)
\(\displaystyle I = \frac{4}{13} \left [-\frac{1}{2}\cos{(2x)}\cos{(3x)} +\frac{3}{4} \sin{(2x)}\sin{(3x)} \right ] +c\)
\(\displaystyle I = - \frac{2}{13} \cos{(2x)}\cos{(3x)} +\frac{3}{13} \sin{(2x)}\sin{(3x)} +c\)

Verificando al calcolatore, però, la soluzione deve essere
\(\displaystyle I = \frac{ \cos (x) }{2} - \frac{\cos(5x)}{10} \)

[chiaraotta1]

Se usi la formula di Werner
$sin(alpha) cos(beta) = 1/2[sin(alpha + beta) + sin(alpha - beta)]$,
ottieni che
$sin(2x)cos(3x)= 1/2[sin(2x + 3x) + sin(2x - 3x)]=1/2[sin(5x)-sin(x)]$.
Per cui
$int [sin(2x)cos(3x)]dx = 1/2int[sin(5x)-sin(x)]dx =-1/10cos(5x)+1/2 cos(x) + c$.

[Brancaleone1]

Grazie chiaraotta
Non avevo pensato alle formule di Werner.

Ho comunque trovato l'errore. L'ho commesso nella seconda integrazione per parti, quando calcolo l'integrale di g': è
\(\displaystyle g' = \cos(2x) \rightarrow g = + \frac{1}{2} \sin(2x) \)

e quindi

\(\displaystyle = -\frac{1}{2}\cos{(2x)}\cos{(3x)} -\frac{3}{4} \sin{(2x)}\sin{(3x)} + \frac{9}{4} \int \left [ \sin{(2x)}\cos{(3x)} \right ] dx \)

\(\displaystyle ... \)

\(\displaystyle I = \frac{2}{5} \cos{(2x)}\cos{(3x)} +\frac{3}{5} \sin{(2x)}\sin{(3x)} +c\)

che grazie alle formule di Werner equivale a

\(\displaystyle I = \frac{ \cos (x) }{2} - \frac{\cos(5x)}{10} + c\)

Ciao e ancora grazie