Dubbio sul dominio di un integrale doppio

[nello_1981]

Ciao a tutti, la settimana scorsa ho sostenuto un test all'università; includeva un integrale doppio $ int int (e^(24x)+e^(24y))e^(12(x+y))dxdy $ da calcolare nel dominio:$ {e^(24x)+e^(24y)<=1} $.
Il calcolo dell'integrale non penso di averlo sbagliato, cioè la sua primitiva dovrebbe essere $ (e^(36x)/36)(e^(12y)/12)+(e^(12x)/12)(e^(36y)/36) $ mentre col dominio ho trovato difficoltà, perchè abituato sempre a ritrovarmi di fronte uno spazio delimitato da una circonferenza o ellissi o parabola e loro combinazione e non funzioni esponenziali.
Ovviamente sia la x che la y devono essere minori di zero, ma rivedendola a casa penso che sia la x che la y dovrebbero essere $ <=−ln(2)/24 $....cosa ne pensate?

[Quinzio]

Penso che si può fare la sostituzione $u=e^(12x),\ v = e^(12y)$.

Da cui $e^{12x}+e^{12y} \le 1$ diventa $u^2+v^2 \le 1$

e $dx=1/(12u)$ e $dy=1/(12v)$

$\int\int (e^{24x}+e^{24y})e^{12(x+y)} dx dy$

diventa

$\int\int (u^2+v^2) uv (1/(144uv)) du dv =(1)/(144) \int\int (u^2+v^2) du dv$

passando a coordinate polari

$(1)/(144) \int\int (\rho^3) d\rho d\theta, \ \ \ \ \rho\in [0,1],\ \theta\in[0,2\pi]$

$= (\pi)/(288)$

[Sk_Anonymous]

Allo scopo di discutere la tua risoluzione, procedo senza cambiamento di variabili:

$[e^(24x)+e^(24y)<=1] rarr [e^(24y)<=1-e^(24x)] rarr \{(24y<=log(1-e^(24x))),(1-e^(24x)>0):} rarr \{(y<=1/24log(1-e^(24x))),(x<0):}$

$I=int_-oo^0dxint_-oo^(1/24log(1-e^(24x)))dy[e^(36x+12y)+e^(12x+36y)]=$

$=int_-oo^0dx[e^(36x)]int_-oo^(1/24log(1-e^(24x)))dy[e^(12y)]+int_-oo^0dx[e^(12x)]int_-oo^(1/24log(1-e^(24x)))dy[e^(36y)]=$

$=int_-oo^0dx[1/12e^(36x)(1-e^(24x))^(1/2)]+int_-oo^0dx[1/36e^(12x)(1-e^(24x))^(3/2)]$

Ora, mediante la sostituzione $[e^(12x)=sent]$, si può concludere:

$I=1/144int_0^(pi/2)dt[sen^2tcos^2t]+1/432int_0^(pi/2)dt[cos^4t]=pi/2304+pi/2304=pi/1152$

Tuttavia, visto che il dominio e la funzione sono simmetrici rispetto alla retta $[y=x]$, si poteva impostare anche il seguente integrale:

$I=2int_-oo^(-1/24log2)dxint_x^(1/24log(1-e^(24x)))dy[e^(36x+12y)+e^(12x+36y)]$

Come vedi, solo in questo caso compare il valore $[-1/24log2]$, il suo significato deve essere contestualizzato. A questo scopo, potresti rappresentare graficamente il dominio di integrazione:

$\{(y<=1/24log(1-e^(24x))),(x<0):}$

"nello_1981":
Il calcolo dell'integrale non penso di averlo sbagliato, cioè la sua primitiva dovrebbe essere $(e^(36x)/36)(e^(12y)/12)+(e^(12x)/12)(e^(36y)/36)$

Questa affermazione è francamente incomprensibile.

"Quinzio":
$[I=pi/288]$

$[u>0] ^^ [v>0] rarr [0

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[Quinzio]

Esatto, grazie.

[nello_1981]

Grazie ragazzi

"speculor":
[quote="nello_1981"]
Il calcolo dell'integrale non penso di averlo sbagliato, cioè la sua primitiva dovrebbe essere $(e^(36x)/36)(e^(12y)/12)+(e^(12x)/12)(e^(36y)/36)$

Questa affermazione è francamente incomprensibile.
[/quote]
Questo non dovrebbe essere il risultato dell'integrale senza il dominio (cioè l'integrale indefinito)?

[Sk_Anonymous]

"nello_1981":
Questo non dovrebbe essere il risultato dell'integrale senza il dominio (cioè l'integrale indefinito)?

Gli integrali multipli si scompongono mediante la tecnica degli integrali semplici ripetuti. Per le funzioni di più variabili, non esiste il concetto di integrale indefinito come viene introdotto per le funzioni di una sola variabile.

[nello_1981]

Un ultimo dubbio:
ma il risutato non dovrebbe essere $ (pi*(1+2k))/1152 $ ?
Andando a fare la sostituzione nell'ntegrale $ e^(12x)=sin(t) $ ai limiti dell'integrale dovrebbe essere $ int_{-infty}^{0}dx = int_{kpi}^{pi/2+2kpi}dt $?