Ancora sui limiti BIS
Salve a tutti, ho questo limite:
$lim_(x->+infty) (logx)^log(x)/e^x$
Riscrivo in una forma più decente ( almeno sulla carta):
$lim_(x->+infty) e^(log(x)*log(logx))/e^x$
Adesso il problema è stabilire quale tra i 2 esponenti delle 2 $e$ è il più "cattivo" quindi ho pensato di guardare questo limite:
$lim_(x->+infty) (log(x)*log(log(x)))/x$
è una forma indeterminata quindi uso il marchese ed ottengo:
$lim_(x->+infty) 1/x*1/(x*log(x))$
$lim_(x->+infty) 1/(x^2*log(x))=0$
Quindi ho appurato che:
$lim_(x->+infty) (log(x)*log(log(x)))/x=0$
Quindi posso dedurre che il limite di partenza tende a $0$?
$lim_(x->+infty) (logx)^log(x)/e^x$
Riscrivo in una forma più decente ( almeno sulla carta):
$lim_(x->+infty) e^(log(x)*log(logx))/e^x$
Adesso il problema è stabilire quale tra i 2 esponenti delle 2 $e$ è il più "cattivo" quindi ho pensato di guardare questo limite:
$lim_(x->+infty) (log(x)*log(log(x)))/x$
è una forma indeterminata quindi uso il marchese ed ottengo:
$lim_(x->+infty) 1/x*1/(x*log(x))$
$lim_(x->+infty) 1/(x^2*log(x))=0$
Quindi ho appurato che:
$lim_(x->+infty) (log(x)*log(log(x)))/x=0$
Quindi posso dedurre che il limite di partenza tende a $0$?
Risposte
"Obidream":
Salve a tutti, ho questo limite:
$lim_(x->+infty) (logx)^log(x)/e^x$
Riscrivo in una forma più decente ( almeno sulla carta):
$lim_(x->+infty) e^(log(x)*log(logx))/e^x$
$e^(log(x)*log(logx))/e^x = e^(log(x)*log(logx)-x)$ !!!!
Adesso il problema è stabilire quale tra i 2 esponenti delle 2 $e$ è il più "cattivo" quindi ho pensato di guardare questo limite:
$lim_(x->+infty) (log(x)*log(log(x)))/x$
è una forma indeterminata quindi uso il marchese ed ottengo:
$lim_(x->+infty) 1/x*1/(x*log(x))$
$lim_(x->+infty) 1/(x^2*log(x))=0$
Quindi ho appurato che:
$lim_(x->+infty) (log(x)*log(log(x)))/x=0$
Quindi posso dedurre che il limite di partenza tende a $0$?
"Quinzio":
$e^(log(x)*log(logx))/e^x = e^(log(x)*log(logx)-x)$ !!!!
Si, ci avevo pensato, ma non riesco ad uscire dalla forma indeterminata all'esponente perché ho un $+infty-infty$
La disuguaglianza \(\ln(x)1\), quindi possiamo scrivere per \( > e\):
\[\ln(\ln(x))<\ln(x)\]
\[\ln(x)\ln(\ln(x))-x<\ln^2(x)-x\]
da cui:
\[0
\[\ \lim_{x\rightarrow+\infty}[\ln^2(x)-x]=\lim_{x\rightarrow+\infty}x[\frac{\ln^2(x)}{x}-1] =-\infty \]
in quanto
\[ \lim_{x\rightarrow+\infty}[\frac{\ln^2(x)}{x}-1]=-1\]
In definitiva per il teo. del confronto segue:
\[e^{\ln(x)\ln(\ln(x))-x}=0\]
\[\ln(\ln(x))<\ln(x)\]
\[\ln(x)\ln(\ln(x))-x<\ln^2(x)-x\]
da cui:
\[0
\[\ \lim_{x\rightarrow+\infty}[\ln^2(x)-x]=\lim_{x\rightarrow+\infty}x[\frac{\ln^2(x)}{x}-1] =-\infty \]
in quanto
\[ \lim_{x\rightarrow+\infty}[\frac{\ln^2(x)}{x}-1]=-1\]
In definitiva per il teo. del confronto segue:
\[e^{\ln(x)\ln(\ln(x))-x}=0\]
Secondo me basta considerare che per [tex]x\rightarrow +\infty[/tex] è: [tex]\ln(x)=o(x)[/tex] , da cui:
[tex]\ln(x)\cdot \ln[ \ln(x)]-x=o(x)\cdot o(\ln(x))-x=o(x)-x[/tex], sbaglio?
[tex]\ln(x)\cdot \ln[ \ln(x)]-x=o(x)\cdot o(\ln(x))-x=o(x)-x[/tex], sbaglio?
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