Serie numeriche: criterio del quoziente
Salve, è il mio primo post e spero che qualcuno possa darmi una mano.
Sto cercando di capire a fondo i criteri di convergenza delle serie numeriche e adesso mi sto lavorando il criterio del quoziente. Non d'Alembert. Quello che usa il criterio del confronto tra quozienti di termini consecutivi di due serie.
Ipotesi e tesi sono queste:
Se $sum\v_n$ converge e $sum\u_n$ è tale che $frac{u_(n+1)}{u_n}<=frac{v_(n+1)}{v_n}$ allora anche $sum\u_n$ converge.
La dimostrazione è breve. Dall'ipotesi, moltiplicando membro a membro si ottiene:
$frac{u_2}{u_1}frac{u_3}{u_2}...frac{u_n}{u_(n-1)}<=frac{v_2}{v_1}frac{v_3}{v_2}...frac{v_n}{v_(n-1)}$ e semplificando:
$frac{u_n}{u_1}<=frac{v_n}{v_1}$. Quindi: $u_n<=kv_n$ e per il criterio del confronto, data l'ipotesi, anche la prima serie converge.
Nel caso si voglia verificare la divergenza si sceglie un'opportuna $sum\v_n$ divergente e si verifica se
$frac{u_n}{u_1}>=frac{v_n}{v_1}$.
Fin qui mi è tutto chiaro. I problemi sorgono quando passo alla versione operativa, che fa uso del limite. Il testo, senza dimostrarlo, dice che nella pratica si usa la versione:
$lim_{n \to \infty}frac{u_n}{v_n}=l$
Quindi, se l=0 e $sum\v_n$ converge, anche $sum\u_n$ converge. Se il rapporto diverge e $sum\v_n$ diverge, anche $sum\u_n$ diverge. In questa forma non l'ho capito.
Ma il testo aggiunge anche che se il limite è $!=$ 0, "cioè finito o infinito, le due serie sono entrambe convergenti o divergenti". E qui la confusione aumenta perché non ho capito se è una condizione più forte o la stessa. Però le numera da 1 a 3, quindi sembra voler dire che sono condizioni differenti.
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà a chiarirmi le idee.
Sto cercando di capire a fondo i criteri di convergenza delle serie numeriche e adesso mi sto lavorando il criterio del quoziente. Non d'Alembert. Quello che usa il criterio del confronto tra quozienti di termini consecutivi di due serie.
Ipotesi e tesi sono queste:
Se $sum\v_n$ converge e $sum\u_n$ è tale che $frac{u_(n+1)}{u_n}<=frac{v_(n+1)}{v_n}$ allora anche $sum\u_n$ converge.
La dimostrazione è breve. Dall'ipotesi, moltiplicando membro a membro si ottiene:
$frac{u_2}{u_1}frac{u_3}{u_2}...frac{u_n}{u_(n-1)}<=frac{v_2}{v_1}frac{v_3}{v_2}...frac{v_n}{v_(n-1)}$ e semplificando:
$frac{u_n}{u_1}<=frac{v_n}{v_1}$. Quindi: $u_n<=kv_n$ e per il criterio del confronto, data l'ipotesi, anche la prima serie converge.
Nel caso si voglia verificare la divergenza si sceglie un'opportuna $sum\v_n$ divergente e si verifica se
$frac{u_n}{u_1}>=frac{v_n}{v_1}$.
Fin qui mi è tutto chiaro. I problemi sorgono quando passo alla versione operativa, che fa uso del limite. Il testo, senza dimostrarlo, dice che nella pratica si usa la versione:
$lim_{n \to \infty}frac{u_n}{v_n}=l$
Quindi, se l=0 e $sum\v_n$ converge, anche $sum\u_n$ converge. Se il rapporto diverge e $sum\v_n$ diverge, anche $sum\u_n$ diverge. In questa forma non l'ho capito.
Ma il testo aggiunge anche che se il limite è $!=$ 0, "cioè finito o infinito, le due serie sono entrambe convergenti o divergenti". E qui la confusione aumenta perché non ho capito se è una condizione più forte o la stessa. Però le numera da 1 a 3, quindi sembra voler dire che sono condizioni differenti.
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà a chiarirmi le idee.
Risposte
allora per le serie numeriche esistono tanti criteri
Quello che dici tu è il criterio del rapporto, ti enuncio qua il suo teorema nella forma più facile:
Criterio del rapporto:sia \(\displaystyle \sum a_n \) una serie tale che \(\displaystyle a_n>0 \) per ogni \(\displaystyle n \).
Esista \(\displaystyle \alpha \) tale che \(\displaystyle \alpha=\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)
1- Se \(\displaystyle 0\leq \alpha <1 \Rightarrow \sum a_n\) converge
2- Se \(\displaystyle 1<\alpha\leq +\infty \Rightarrow \sum a_n \) diverge
Se invece \(\displaystyle \alpha = 1 \) non si può dire nulla sulla convergenza o divergenza della serie!
Quello che dici tu è il criterio del rapporto, ti enuncio qua il suo teorema nella forma più facile:
Criterio del rapporto:sia \(\displaystyle \sum a_n \) una serie tale che \(\displaystyle a_n>0 \) per ogni \(\displaystyle n \).
Esista \(\displaystyle \alpha \) tale che \(\displaystyle \alpha=\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)
1- Se \(\displaystyle 0\leq \alpha <1 \Rightarrow \sum a_n\) converge
2- Se \(\displaystyle 1<\alpha\leq +\infty \Rightarrow \sum a_n \) diverge
Se invece \(\displaystyle \alpha = 1 \) non si può dire nulla sulla convergenza o divergenza della serie!
@21zuclo, se rileggi il mio msg puoi accorgerti che il teorema confronta i quozienti di due termini successivi di due serie differenti.
Quello a cui tu ti riferisci è il noto criterio del rapporto, ma è appunto un altro criterio.
Quello a cui tu ti riferisci è il noto criterio del rapporto, ma è appunto un altro criterio.
Non c'è nessuno che vuole ricavare la versione che fa uso del limite dalla prima? Questa è la parte sulla quale cerco un aiuto da almeno uno dei numerosi e illustri matematici ricercatori e insegnanti che frequentano questo forum. E' forse troppo semplice?
Riepilogando, sono arrivato a queste considerazioni. Se l è finito, allora il rapporto $frac{u_(n+1)}{v_(n+1)}$ risulta maggiorato definitivamente da $k = frac{u_1}{v_1}$ e per il confronto, dalla convergenza della serie $sum\(kv_n)$ consegue la convergenza della $sum\u_n$.
Se il limite diverge allora dalla divergenza della $sum\v_n$ consegue la divergenza della $sum\u_n$, che la maggiora. Ed anzi maggiora la $sum\(kv_n)$.
Ho buttato giù queste considerazioni ricavate in metro, quindi se qualcuno ha argomenti per smentire o completare è più che benvenuto. Concluderei che questo criterio si può utilizzare qualora il rapporto tra i termini successivi assuma una forma particolarmente ‘malleabile’, facile da manipolare.
Se il limite diverge allora dalla divergenza della $sum\v_n$ consegue la divergenza della $sum\u_n$, che la maggiora. Ed anzi maggiora la $sum\(kv_n)$.
Ho buttato giù queste considerazioni ricavate in metro, quindi se qualcuno ha argomenti per smentire o completare è più che benvenuto. Concluderei che questo criterio si può utilizzare qualora il rapporto tra i termini successivi assuma una forma particolarmente ‘malleabile’, facile da manipolare.
Il criterio resta valido tanto se il limite va a zero, quanto se diverge o converge a un valore finito.
E in qualunque caso è applicabile nei due versi del confronto tra le serie.
E in qualunque caso è applicabile nei due versi del confronto tra le serie.
Ciao, ti lascio un remark al volo: intanto questi criteri di confronto (o confronto asintotico, come nel tuo caso) funzionano solo per serie a termini positivi. Al limite puoi applicarli alla serie dei valori assoluti per analizzare la convergenza assoluta. Detto questo, IL teorema fondamentale a cui tutte queste tecniche si riconducono è il seguente:
Teorema Siano \((a_n), (b_n)\) due successioni tali che \(0 \le a_n \le b_n\). Allora:
[list=1][*:1rp24o18]Se \(\sum b_n < \infty\) (ovvero \(\sum b_n\) converge) allora anche \(\sum a_n < \infty\).[/*:m:1rp24o18]
[*:1rp24o18]Se \(\sum a_n = \infty\) allora anche \(\sum b_n=\infty\).[/*:m:1rp24o18][/list:o:1rp24o18]
Tutti gli altri criteri di confronto sono corollari di questo teorema qui, a cui nel dubbio conviene ricondursi. Ad esempio, supponiamo di avere due serie a termini positivi \(\sum a_n, \sum b_n\) e di sapere che
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=0.\]
Ciò implica, per definizione di limite, che esiste un \(N\in \mathbb{N}\) tale che \(a_n/b_n \le 1\) per ogni \(n \ge N\), ovvero che \(a_n \le b_n\). Quindi siamo nelle ipotesi del teorema di prima (non importa che la disuguaglianza valga solo da un certo indice in poi).
Se invece
\[\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=l,\quad 0
Sono cose che, vedo, hai già capito. Quello che vorrei aggiungere è che non conviene immagazzinarsi mentalmente tutta questa massa di teoremini: meglio invece capire bene qual è il teorema fondamentale, in questo caso il teorema del confronto di cui sopra, e poi cercare (anche operativamente) di ricondursi sempre ad esso.
Teorema Siano \((a_n), (b_n)\) due successioni tali che \(0 \le a_n \le b_n\). Allora:
[list=1][*:1rp24o18]Se \(\sum b_n < \infty\) (ovvero \(\sum b_n\) converge) allora anche \(\sum a_n < \infty\).[/*:m:1rp24o18]
[*:1rp24o18]Se \(\sum a_n = \infty\) allora anche \(\sum b_n=\infty\).[/*:m:1rp24o18][/list:o:1rp24o18]
Tutti gli altri criteri di confronto sono corollari di questo teorema qui, a cui nel dubbio conviene ricondursi. Ad esempio, supponiamo di avere due serie a termini positivi \(\sum a_n, \sum b_n\) e di sapere che
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=0.\]
Ciò implica, per definizione di limite, che esiste un \(N\in \mathbb{N}\) tale che \(a_n/b_n \le 1\) per ogni \(n \ge N\), ovvero che \(a_n \le b_n\). Quindi siamo nelle ipotesi del teorema di prima (non importa che la disuguaglianza valga solo da un certo indice in poi).
Se invece
\[\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=l,\quad 0
Sono cose che, vedo, hai già capito. Quello che vorrei aggiungere è che non conviene immagazzinarsi mentalmente tutta questa massa di teoremini: meglio invece capire bene qual è il teorema fondamentale, in questo caso il teorema del confronto di cui sopra, e poi cercare (anche operativamente) di ricondursi sempre ad esso.
Grazie del contributo. Concordo con la tua considerazione finale e con l'esposizione. Ho incontrato questo criterio in un libro di esercizi e mi sono accorto che non visualizzavo pienamente la versione con il limite. Poi ho individuato la differenza, ma soprattutto l’analogia, tra le due versioni: il primo afferma la diseguaglianza per ogni termine, il secondo, tramite il limite, impone che valga 'solo' definitivamente. Quindi, asintoticamente. Ma visto che mi interessa il carattere, la differenza risulta ininfluente.
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